Integral multiple

Integral múltiple
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Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f (x, y) ó f (x, y, z).


La doble integral como el volumen bajo una superficie. La región rectangular abajo de la figura es el dominio de integración, mientras que la superficie es lagráfica de la función de dos variables de la integral.
Contenido
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• 1 Introducción
• 2 Definición
• 3 Propiedades
• 4 Integrales múltiples e Integrales iteradas
• 5 Métodos de integración
o 5.1 Funciones constantes
o 5.2 Uso de simetrías
o 5.3 Cambio de variables
 5.3.1 Coordenadas Polares
 5.3.2 Coordenadas Esféricas
 5.3.3 Coordenadas Cilíndricas
• 6 Véase también
• 7Referencias

[editar] Introducción
De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficiedefinida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde ahipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo deintegral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.
[editar] Definición
Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como lamagnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,...,xn) y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por x3 = f(x1,x2) y una región T en el plano x1x2 es igual a algúnaintegral doble, si es que la función f está definida en región T.
Se puede dividir la región T en una partición interior Δ formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en T. La norma | | Δ | | de esta partición está dada por la diagonal más larga en las m subregiones.
Si se toma un punto (x1i,x2i,...,xni) que esté contenido dentro de la subregión condimensiones Δx1iΔx2i...Δxni para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por xn + 1 = f(x1,...,xn) y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,...,xn) y laregión T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

El significado riguroso de éste último...