integral por partes definicion

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula :

fórmula de la integral por partes

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.La integración por partes (I.P.P. en abreviado) es un método para calcular una integral de una función cuyas primitivas se desconocen, y consiste en utilizar el teorema siguiente:
Sean u y v dos funciones reales de clase C1 (es decir derivable y de derivada continua) definidas sobre el intervalo [a;b].
Entonces se da la relación:
\int_a^b u(t)v'(t) \, dt = \left [u(t)v(t) \right]_a^b - \\int_a^b u'(t)v(t) \, dt
donde el corchete es una escritura abrevada de una diferencia: \left[ f(x) \right ]_a^b = f(b) - f(a) , con f una función definida sobre [a;b].
Se puede suponer condiciones menos restrictivas sobre u y v para aplicar esta fórmula: que sean derivables y que sus derivadas sean integrables.
La prueba del teorema es como sigue: (uv)' = u'v + uv' \ luego integrando ambosmiembros (que se pueden integrar según las condiciones del teorema) entre a y b:
\int_a^b \left ( u(t)v(t) \right )' \, dt = \int_a^b \left ( u'(t)v(t) + u(t)v'(t) \right ) \, dt
Luego, recordando que una función - aquí uv - es una primitiva de su derivada, y aplicando la linealidad de la integral al miembro de la derecha, se obtiene:
[u(t)v(t)]_a^b = \int_a^b u'(t)v(t) \, dt + \int_a^b u(t)v'(t)\, dt
lo que da la fórmula del teorema.
Ejemplos: Las dos integrales siguientes son a menudo las primeras que se proponen en todo curso sobre la I.P.P. pues son las más sencillas que no se saben integrar buscando primitivas.
Sea la integral I = \int_a^b te^t \, dt : La función u(t) = t tiene como derivada u'(t) = 1, y la función v(t) = et es su propia derivada: v'(t) = v(t). Luego elteorema da: I = \int_a^b te^t \, dt = \left [te^t \right]_a^b - \ \int_a^b e^t \, dt = \left [te^t - t \right]_a^b = be^b - b - ae^a + a.
Sea J = \int_1^x \ln \, t \, dt . Aquí no aparece ningún producto en la integral. El truco es introducir el factor 1: J = \int_1^x 1 \cdot \ln \, t \, dt , luego, con u(t) = \ln t, \ \ u'(t) = \frac 1 t,\ \ v(t) = t , \ \ v'(t) = 1 se obtiene: J = \, \left [t \ln t \right ]_1^x \, - \int_1^x t \cdot \frac 1 t \, dt \, = \, x \ln x \, - \, 0 \, - \int_1^x 1 \, dt \,= \, x \ln x \, - \, [t]_1^x \, = \, x \ln x \, - \, x \, + \, 1. Considerando x como una variable, J es una función de x, concretamente la primitiva de ln que se anula en x = 1. Esta I.P.P. permite hallar una primitiva sencilla de ln: x → x·ln x - x (se quita la constante, inútil).I.P.P. con integrales impropias

La integración por partes también se aplica en en caso de las integrales impropias con tal que estas últimas converjan. Esto se debe a que una integral impropia es un límite de integrales definidas y que toda igualdad, como lo es la fórmula de la I.P.P. pasa al límite. Si la singularidad se sitúa en el extremo b de la integral (por ejemplo si b es infinito) entonces:\forall x \in [a;b], \ \ \int_a^x u(t)v'(t) \, dt = \left [u(t)v(t) \right]_a^x - \ \int_a^x u'(t)v(t) \, dt implica \lim_{x \rightarrow b} \int_a^x u(t)v'(t) \, dt =\lim_{x \rightarrow b} \left [u(t)v(t) \right]_a^x - \ \lim_{x \rightarrow b} \int_a^x u'(t)v(t) \, dt lo que da, en caso de convergencia de dos de los tres términos (lo que implica la convergencia del último)\int_a^b u(t)v'(t) \, dt = \left [u(t)v(t) \right]_a^b - \ \int_a^b u'(t)v(t) \, dt
Ejemplos:
K = \int_0^{+\infty} x e^{- x} \, dx = \left [x (-e^{- x}) \right]_0^{+\infty} - \ \int_0^{+\infty} 1(-e^{- x}) \, dx ( con u(x) = x; u'(x) = 1; v'(x) = e-x y v(x) = -e-x )
= -\lim_{x \rightarrow + \infty}x e^{- x} + 0 + \int_0^{+\infty} e^{- x} \, dx = 0 + \left [ (-e^{- x}) \right]_0^{+\infty} =...