integral tipo iv



Proyecto: El atractor de Lorenz


Objetivo

Saber cuales son las variaciones de los parámetros para ver en que punto empieza la bifurcación del atractor de Lorenz; es decir, bajo qué parámetros empieza a pasar de un atractor a 2 atractores.

Introducción

Elatractor de Lorenz fue hallado por casualidad, por el meteorólogo Edward Lorenz cuando trataba de encontrar un modelo matemático que permitiera predecir el comportamiento de grandes masas de aire. Consiguió ajustar el modelo a sólo tres variables que indican como cambia la velocidad y la temperatura del aire a lo largo del tiempo.
Después de haber estudiado el modelo, volvió a introducir losdatos iniciales (esta vez con menos decimales) y el resultado que obtuvo fue completamente diferente del anterior. Cuando reflexionó sobre los resultados se dio cuenta que el sistema era extremadamente sensible a las condiciones iniciales, pequeñas perturbaciones en los datos de partida tienen una gran influencia sobre el resultado final. Sus ecuaciones captaban la esencia de la verdadera atmósfera.“Aquel primer día (invierno 1961) Lorenz decidió que los pronósticos amplios estaban condenados a la extinción”; pero él vio más que azar en su modelo del tiempo: una fina estructura geométrica, orden disfrazado de casualidad.
Las ecuaciones del atractor de Lorenz son las siguientes:

1) dx/dt =a( y-x)
2) dy/dt =x( b-z)-y
3) dz/dt =xy-cz

Problema: Bifurcación

El problema consiste enencontrar las variaciones de los parámetros para saber si es posible cómo va cambiando el atractor y encontrar en qué punto empieza la bifurcación; es decir, de un atractor a dos atractores.

Herramientas (¿Con qué vamos a atacar el problema?)

Para la resolución del problema haremos uso de 2 herramientas: una vista en clase que es programación en LENGUAJE C, con la que haremos los cálculoscorrespondientes para poder generar los datos a interpretar, la otra herramienta que es GNUPLOT, con la que haremos la interpretación de los datos para poder generar las visualizaciones tanto en 2D como en 3D.

Desarrollo

Bueno, lo que vamos a hacer para resolver el problema es algo relativamente sencillo, aunque al principio resulta algo tedioso el estar probando combinaciones.
Utilizaremos entotal 7 variables: x, y, z, a, b, c, dt.
Las tres variables con las que se describe el estado de la atmósfera son: El flujo de convección x. La distribución de la temperatura y. La distribución de la temperatura z.
El cimiento para este problema son las 3 variables esenciales para el atractor, a, b, c, donde a es el número de Prandtl, b es el número de Rayleigh y c es la altura de nuestrosistema.
Para empezar x, y, z pueden tomar cualquier valor que les otorguemos, lo importante será los parámetros de las variables a, b, c; y de éstas para generar el atractor de Lorenz como tal, el valor más importante es b. Generalmente los valores para generar un atractor común son los siguientes:

1. a=10
2. c=8/3
3. b=28

Todo se calculara en un intervalo de tiempo dt para ver como es elcomportamiento de las variables. Nuestro trabajo consiste en encontrar más que nada, el valor apropiado para b, para que se muestre la bifurcación.
Ahora obtendremos los datos necesarios con el método de Euler. Lo que haremos será encontrar los valores para x, y, z a partir de las ecuaciones antes descritas multiplicándolo todo por dt, esto se hará el número de veces (iteraciones) que queramos,;todo esto en conjunto se llama método de Euler.
Luego utilizamos la ecuación 1 para calcular x, la ecuación 2 para calcular y, y la ecuación 3 para calcular z.
Ya con toda la información anterior podemos hacer el programa en C, que consta de los siguientes pasos:

1.Definir variables.
2.Comando para la creación de un archivo de salida.
3.Creación de un ciclo de iteraciones para el...