Integral triple aplicada en plano cartesiano

Instituto Tecnológico Superior de Poza Rica

Maestro: Dr. Israel Mazario Triana

Carrera: Ingeniería en Energías Renovables

Trabajo: Unidad 3 INTEGRALES TRIPLES APLICADAS AL PLANO
CARTESIANO.

Grado: 2° semestre

Grupo: A

Nombre de los integrantes:
Daniel Antonio Cabrera Cedillo

146P0880

Alex Daniel Garnica Aguilar

146P0893

Perla Coral Monroy Cortez

146P0905

Martha Laura Olarte Pérez146P0908

Dafne Beatriz Mercado Mauricio 146P0904

Fecha de entrega: 3 de JUNIO del 2015

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Tabla de contenido
INTEGRALES TRIPLES ........................................................................................................................... 3
EVALUACIÓN DE ALGUNAS INTEGRALES TRIPLES ............................................................................... 3
APLICACIONES DE LASINTEGRALES TRIPLES. ...................................................................................... 4
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS RECTANGULARES............................................................... 6
INTEGRALES TRIPLES. .......................................................................................................................... 6
VÓLUMEN DE UNA REGIÓN EN ELESPACIO........................................................................................ 7
CALCULO DE LIMITES DE INTEGRACIÓN EN EL ORDEN dz dy dx. ........................................................ 8

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INTEGRALES TRIPLES
La definición de una integral triple sigue el modelo de las integrales dobles.
Consideremos una función f de tres variables, continua en un cubo Q= [ a,b ] x [a´,
b´] x[an, bn] de R3.
Formamos las particiones correspondientes y las sumas S (f, P) y s(f, P). Se
prueba que, a medida que aumenta el número de puntos de las particiones, las
sumas S (f, P) y s(f, P) tieneden a un límite común que se denota por

Las propiedades de la integral triple son análogas a las de la integral doble en
cuanto linealidad desdoblamieto de una región en dos, etc.
El Teorema de Fubinitiene su versión para integrales triples en la forma siguiente:

EVALUACIÓN DE ALGUNAS INTEGRALES TRIPLES.
De la misma forma que ocurre con las integrales dobles, se extiende el concepto
de integral triple a regiones más generales. Concretamente, si f es continua y

Donde h1, h2, g1 y g2 son funciones continuas, entonces:

Que también suele escribirse de la forma:

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Ejemplo: CalcularSolución:
En primer lugar mantenemos x e y constantes e integramos en z, obteniendo:

Ahora mantenemos x constante e integramos en y:

Este ejemplo ilustra el orden de integración z, y, x. Para órdenes se procede de
manera similar. Por ejemplo, si tenemos que integrar en el orden x, y, z,
empezaremos manteniendo y y z constantes en la primera integración (en x). A
continuación se mantiene Z constante y seintegra en y. Finalmente. La expresión
que queda se integra en la variable z (tercera integración.)

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.
En lo que sigue veremos dos aplicaciones de las integrales triples: el cálculo del
centro de masa de un sólido y del momento de inercia.
Consideremos una región sólida Q del espacio cuya densidad en el punto (x, y, z)
viene dada por la función p(x, y, z).CENTRO DE MASA.
La masa del sólido se calcula mediante

Si ahora denotamos los momento de primer orden por
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Se tiene que las coordenadas del centro de masa del sólido son

, siendo

Ejemplo: Hallar el centro de la masa de un cubo de lado 1 que tiene un vértice
inferior en el origen de coordenadas, sabiendo que en cada punto (x, y, z) la
densidad es proporcional al cuadradp de su distancia alorigen.
Solución:
Como la densidad en cada punto (x, y, z) es proporcional al cuadrado de su
distancia a (0, 0, 0), se tiene que:

Donde k es cierta constante.
En primer lugar tenemos :

Por otra parte.

Como se prueba fácilmente, la integral entre corchetes se calculó más arriba, con
lo cual

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De lo que sigue:

Finalmente, por naturaleza de p y la simetría de la figura se tiene que X= Y = Z y...