integral

Propiedades fundamentales de la integral definida
 
1. Si  es un número real constante, y  es una función integrable en el intervalo cerrado , entonces: 
  
 
2. Si  son dos funcionesintegrables en  entonces  también es integrable en  y: 
 
 
3. Si  son dos funciones integrables en  (con ) y además entonces: 

 
4. Si  son los valores máximo y mínimo respectivamente de la función  enel intervalo , con , y además  es integrable en  entonces:

 
5. Teorema del valor medio para integrales
 
Si  es una función continua en el intervalo , entonces existe en éste un punto  tal quese verifique la siguiente igualdad: 
 
 





 

 
Determinar, en cada caso, el valor de  tal que: 
i.

ii.

iii.
     Ejercicio para el estudiante.
 
Solución: 
i.
Calculemosprimero  
Como  entonces  
Luego  de donde: 
 (en este caso ) 
 y por último  

ii.
Calculemos  
Como  entonces: 
 
Luego:  
de donde , como  entonces: 
 y los valores de  que satisfacen laecuación son; este último valor se descarta pues no pertenece al intervalo  
Luego el valor de  que satisface el teorema del valor medio para integrales es  
 

 
Si  es una función integrable enlos intervalos cerrados  y  con  entonces: 
 
Asumimos esta propiedad sin demostración.

 
Ejemplos 
Sea  
 
Ahora:  
Luego:  
 
 
 
Sea  una función integrable en un intervalo cerradoque contiene los tres números . 
Entonces:  sin importar cuál es el orden de.

Para la prueba de esta propiedad se necesitan las siguientes definiciones: 
a.

Ejemplo: 
 
 
Luego: 
b.PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.
1)  donde c es una constante
2) Si f y gson integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:


(se pueden generalizar para más de dos funciones)
3) Si x está definida para x = a entonces...