integral

Capítulo 9

Sucesiones
9.1.

De…nición y propiedades

En la cotidianidad se dan múltiples situaciones donde aparecen conjuntos
de números y objetos en forma ordenada. Como ejemplos se tienen:
La temperaturas medias de una población en los diferentes meses del
año.
El valor del dólar en cada uno de los días del año.
El valor diario de una acción en la bolsa de valores.
Estas comomuchas otras situaciones generan el concepto de sucesión.
De…nción 9.1. Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto
de los números Naturales. Escribimos f : N ! R
n ! f (n)= an

En un lenguaje más informal se dice que una sucesión es un conjunto ordenado de números que siguen una regla de formación. Esta regla de formación
denotada por “an ” se denomina término general o n-ésimotérmino de la
sucesión.
La sucesión fa1 ; a2 ; a3 ; :::an ; :::g se denota por fan g1 o simplente por fan g
n=1
dado que por de…nición n 2 N.
Ejemplo 9.1. El conjunto f1; 3; 5; 7; 9; :::g tiene la carácteristica de estar
conformado por números impares, por ello al escribir el conjunto como
f2n 1g ; esto es por la regla de formación, que determina el término general o n esimo, se tieneprecisamente una sucesión de números impares.

103

104

CAPÍTULO 9. SUCESIONES

Ejemplo 9.2. Considere la sucesión
que

1
;
2

4 9
; ;
5 10

16 25
; ; ::: : Se observa
17 26

Es alternante, esto es, los signos de sus términos alternan.
Los numeradores son cuadrados perfectos
Los denominadores son el resultado de agregar una unidad al numerador.
Teniendo en cuenta cada una deestas observaciones se puede reescribir el
conjunto de la siguiente forma:
12
;
12 + 1

22
32
; 2
;
22 + 1 3 + 1

42
52
; 2
; :::
42 + 1 5 + 1

Para tener en cuenta la alternancia del signo se puede expresar así:
( 1)2

12
22
32
42
52
; ( 1)3 2
; ( 1)4 2
; ( 1)5 2
; ( 1)6 2
; :::
12 + 1
2 +1
3 +1
4 +1
5 +1

En consecuencia, el término general de la sucesión es

(1)n+1

n2
n2 + 1

:

ACTIVIDAD 9.1.
Determine el término n-ésimo de cada una de las siguientes sucesiones.
1. f1; 4; 9; 16; 25; :::g
2.

3.

1 2
; ;
2 3

4. f 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; :::g

3 4
; ; :::
4 5

5.

2 4 8 16
; ; ; ; :::
3 9 27 81

1 1 3 1 5 3 7
; ; ; ; ; ;
; :::
2 2 8 4 32 32 128

6.

0;

ln 2 ln 3 ln 4
;
;
; :::
ln 4 ln 6 ln 8

De…nición9.2. Una sucesión fan g es convergente sí y sólo sí l{m an
n!+1

existe. En caso contrario, la sucesión diverge.

En otras palabras una sucesión es convergente cuando el témino n-ésimo
an se aproxima ó tiende a un número a medida que n aumenta.
Ejemplo 9.3. La suceción f2ng =f2; 4; 6; 8; ::;100; :::g es divergente ya que
l{m 2n = +1:
n!+1

9.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES
Ejemplo 9.4. Lasucesión
ln n
n

105

ln 2 ln 3 ln 4
;
;
; :::
2
3
4

0;

cuyo término n-ésimo es

converge ya que,

ln n
l{m
=
n!+1 n
"

L0 H op
•

1
1
l{m n = l{m
= 0:
n!+1 1
n!+1 n

Nota. Aunque estrictamente hablando la regla de L’
Hopital se aplica a
funciones de variable real, aquí se hace caso omiso a este formalismo dado que toda sucesión tiene una función de variablereal asociada. En este
ln x
ln n
ejemplo, la función f (x) =
corresponde a la sucesión
ya que
x
n
ln n
= an :
f (n) =
n
Ejemplo 9.5. Para determinar si la sucesión f 1; 2; 3; 4; 5; 6; :::g es convergente o no, se debe encontrar su témino general y luego calcular el límite
del mismo.
Se observa que los valores absolutos de los términos de la sucesión son
los números naturales y quelos signos alternan entre negativo y positivo.
Por ello para encontrar la fórmula que genera dicha sucesión, ésta puede
escribirse como
n
o
( 1)1 1; ( 1)2 2; ( 1)3 3; ( 1)4 4; ( 1)5 5; ( 1)6 6; ::: = f( 1)n ng
la cual claramente es divergente ya que oscila in…nitamente entre
En consecuencia, l{m an no existe.

n y n.

n!+1

Ejemplo 9.6. La suceción an = e n sen2 n es convergente. En...