integral

1. INTEGRAL INDEFINIDA
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El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primeravez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
1.-CONOCERA DEFINICIÓN Y SIMBOLOGÍA DE LOS INTEGRALES INDEFINIDOS
2.1 Definición de Integral Indefinida
ღ`·.ღ.·´¯`·Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee: integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numéricoreal.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Ejemplo:

Sustitición:


  u= 4x-3

du= 4
dx

du= 4x dx






La INTEGRAL
1. La integral indefinida
Funciones primitivas
Definición. Sea f una función, se dice que F, función derivable, es una primitiva de f si se verifica F’=f
Ejemplo 1. Si f(x)= 3x2 una primitiva es F(x)= x3. Otra G(x)= x3+7
Proposición.1. Si F es una primitiva de f entonces F+C también lo es.
En efecto ya que  (F+C)’=F’+C’= F’ +0= f
Proposición.2.Si una función f tiene derivada nula en un intervalo entonces f es constante. (se admite sin demostración)
Teorema. Si F1 y F2 son primitivas de f, entonces se diferencian en una constante, es decirF1= F2+C
Demostración
Si F1 es primitiva de f  F1’(x)= f(x); si F2 es primitiva de f  F2’(x)= f(x)
Luego F1’(x)- F2’(x)= 0  F1-F2= C
Consecuencia. Dada una primitiva F de f, el conjunto de sus primitivas es F+C. A dicho conjunto se le llamará la integral indefinida de f y se escribirá  ó .
A f(x) se le llama integrando y al símbolo , símbolo de integración.
Propiedades de la integralindefinida (Linealidad)
1)
Es consecuencia de que la derivada de la suma es la suma d las derivadas
2)
Es consecuencia de que si F es primitiva de f   kF es primitiva de kf, pues (kF)’= kF’= kf
2. Integrales inmediatas
Tabla de primitivas (hacerla teniendo en cuenta la de derivadas y su relación)
Integrales inmediatas (o casi inmediatas)
Llamamos así a aquellas que no requieren ningúnmétodo para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado.
Ejemplo 2. a) ; b)
Ejercicio 1. Calcula las siguientes integrales inmediatas:
a) ; b) ; c) ; d)
 
3. Métodos de Integración
I). Método de descomposición
Se basa en la linealidad de la integral indefinida
Ejemplo.3 =+C
Ejercicio.2. Calcula .
II). Integración por partes.
Se basa en la fórmulade la derivación de un producto.
(u.v)’ = u’.v +v’.u
Como , se tiene:

o utilizando diferenciales:

Ejemplo 4.
Tomamos:

de donde: =
 
Ejercicio.3. Calcula
III) Integración por sustitución o cambio de variable.
Proposición. Si F es una primitiva de f y h(x)=F(u(x))

Demostración
Se basa en la regla de la cadena. Si F es primitiva de f F’(x)=f(x) y h’(x)=F’(u(x)).u’(x)=f(u(x)).u’(x), usando la regla de la cadena,  luego h(x) es una primitiva de f(u(x))u’(x).
Ejemplo 5. I=.
 
Hacemos u=x3-1du=3x2dx       y sustituyendo
I=
Ejercicio 4. Calcula
 
Nota. Teniendo en cuenta la proposición anterior se puede ampliar la tabla de derivadas a funciones compuestas (hacerlo)
Ejemplo 6.
Ejercicio 5. Calcula
IV). Integración de funciones racionales
Son de la...