integral

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Aplicaciones de la integral indefinida
Práctica de Cálculo, E.U.A.T,Grupos 1ºA y 1ºB, 2005
Esta práctica muestra cómo calcular algunas áreas y volúmenes utilizando integrales. En cada caso daremos fórmulas
para calcular el área o el volumen del que se trate; la justificación de estas fórmulas se ha visto (o se verá pronto) en la
clase de teoría.
Paradibujar algunas de las funciones que aparecen en la práctica usaremos algunas órdenes gráficas nuevas: FilledPlot y
ParametricPlot3D. Estas órdenes no son necesarias para los cálculos que haremos, pero son muy útiles para mostrar
gráficamente superficies o volúmenes.
En algunas de las órdenes siguientes no se muestra el dibujo de salida, pero podéis verlo ejecutando las órdenes en
Mathematica.Área de una región plana limitada por dos curvas
Área entre una función y el eje horizontal
Como sabéis, el área entre la gráfica de una función positiva y el eje horizontal en una cierta región es la integral
indefinida de dicha función en esa región. Si la función no es siempre positiva, la integral indefinida cuenta el área "con
signo": positiva si queda por encima del eje y negativa siqueda por debajo. Entonces, para calcular el área entre la
gráfica de una función y el eje horizontal lo que hacemos es calcular la integral del valor absoluto de dicha función.

El área entre la gráfica de una función y el eje horizontal en un intervalo es la integral
del valor absoluto de la función en ese intervalo.
Por ejemplo: calculemos el área bajo la siguiente función en el intervalo[1,2]:
In[1]:= f x_

: x^2

1 2

In[2]:= NIntegrate Abs f x

, x, 1, 2

Out[2]= 1.83333
In[3]:=

Supongamos que queremos calcular el área entre la siguiente función y el eje horizontal, pero sólo en el trozo
en que la función es positiva:

2

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In[3]:= f x_

: x ^ 3 3 x ^ 2 1;
Plot f x , x, 1, 3 ;

1

-1

1

2

3

-1

-2

-3Primero tenemos que saber en qué intervalo es positiva; para eso podemos hallar los puntos de corte con NSolve:
In[5]:= corte

x

Out[5]=

NSolve f x

0, x

0.532089 , x

0.652704 , x

2.87939

Vemos que nos interesa la integral entre el primer y el segundo corte:
In[6]:= a

x . corte
x . corte

b
Out[6]=

1
2

0.532089

Out[7]= 0.652704

Podemos sombrear el área quese quiere calcular:
In[8]:=

Graphics‘FilledPlot‘
FilledPlot f x , x, a, b

;

1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Su valor es:
In[10]:= NIntegrate f x ,

x, a, b

Out[10]= 0.781417

(Aquí no hace falta el valor absoluto porque la función es positiva en este intervalo)
Si queremos hallar el área entre la misma función y el eje horizontal, pero ahora entreel primer corte y el segundo,
podemos hacer lo mismo cambiando los extremos:

3

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In[11]:= c

x . corte

3

Out[11]= 2.87939
In[12]:= NIntegrate Abs f x

, x, a, c

NIntegrate::ncvb : NIntegrate failed to converge to prescribed
accuracy after 7 recursive bisections in x near x
0.6539314160084104‘.

Out[12]= 5.01004
In[13]:= FilledPlot f x ,x, a, c

1

-0.5

1

0.5

1.5

2

2.5

-1

-2

-3
Graphics

Out[13]=

Observad que Integrate se equivoca aunque pongamos el valor absoluto, porque no sabe calcular correctamente primitivas de funciones con picos:
In[14]:=

MAL, Integrate no sabe hacer esta integral
Integrate Abs f x , x, a, c
3.4472

Out[14]=

Área entre dos funciones
Calcular el área del trozoque queda entre las gráficas de dos funciones f y g es lo mismo que calcular el área entre la
función f−gy el eje horizontal, así, que podemos calcularla como la integral indefinida del valor absoluto de f−g.
Por ejemplo, calculemos el área del trozo que queda entre estas dos funciones entre sus dos cortes:
In[15]:= f x_

: Cos x ; en rojo
g x_ : x ^ 2 x 1; en azul
Plot f x , g x , x, 3, 3...