Integral
Sea f(xl .
4x ' , xE ~
y
y
q{x) "" eX,
x€ IR.
Las f unciones
F(x ) _ x·
Gbc) '" eX , x G IR, 9CCl respcct.1varrente
ar.tider ivadas de f Y 9 en
R. es decir
x' - AntI4x' j en IR,
eX .. Mtte x ) en IR,
pues
p.:es
(x'J ' .. 4x',I,I.xGIR
{exl ' _ eX, y. x E IR
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Otrasantiderlva&!.s de r (x) _ 4x' .!IOn, p:r ejerlplo
F Ixl '"' x' • 2,
,
F (xl'" x\ + In 11, F (xl" x· + 100'
,
,
-,
•
p.IeS sus derivada.a 900. iguales a f (x) .. 4xl .
An4logamente, otras antider1vadas de 9 (x) '" eX
G (x) .. eX - 1
BOn,
por ejsrplo
G (x) .. e)l
,
G (x)
•
,
+
a
dcn:le a es cualquier constante reaL
Obscroaci6n
l.
SiF(x) .. Ant(t(x)j en 1,en1;Ol'\CleB
f'(x)
+
e, ct:mde e es U'l&
omstante real
Esta obgervac.16n es
es tar.'tlién antiderivada de f en l.
evidente, ¡;ues si
f(x),
F(x) '" lInt(f(x ») en I,entax:es P ' (x) I
Y. x _ 1.
Tantli6n (F( x ) +
el' '"' F' (x) - t(x),
51
y.. xE: 1 , ent0n0e5 f' (,d + e • Ant( f (x»
en 1.
Una pregunta nat'Xcll es:
F(x) - Jrnt(f (x)) enel interValo 1.
iOlalquier otra antiderivada ele f en 1, difiere de F en tante? es decir, si
F
a lo más
una oons -
, (xl
e
- Ant(f(x)) en 1 , entonres
I.
la respuesta
F be.) .. File) +
,
e,
y. x
es Ilf1.rmlltiva y se dedooe de La
s iguiente
~cp:lSlc16n .
Proposicidn 1.
Sea f: 1
... tR, 1
\11
intervalo y F: 1
... IR
U\a
antiderlvad,a oprimitiva de f.
Si
F:
,
1
.... IR es tantliCin ...,a antidedva-
F (x) - F{x) + e
,
para algur..a oonst. o
e
'J1'\ol
ope r ad6\". mlS a:.f(llica.da que la derivaci 6r., en cuanto se tiesolane.nt~
ne reglaB general es de derivac1oo; para la integrac100
es posible
\.na
hacer artificios .:;u! 9:)n wlidos para cla_s partiOJ lares m1s o I!Ie!r'OS restrictas de f ur..:10les.
cada c.uo partiodar requiere un ensayo,
tentativa ,
ror lo q.¡.e
r~
práctica, nás práctica y mb práctica.
1.5.1 INrEGRAOON POR SUsnruOON.O CAMBIO DE VARIABLE
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Este nétcdo está baaaodo en 1.& regla de derivaci6n de la funci6n COIp.Ie.S-
"'.
!\Ida la furci6n
~&aI
f:
~
1
...R ,
que1'6109 ca.lOJlar
5
f(x)dx.
que
x -
hace un carrbio de variable en el elerrento de i!ltegraci6c1 ,
~:
~ciendo OJO
~(t)
J
'" r
l,J"\a
función
ron dcrivo)da .p' (tI f 0, Y- t€ J.
Si la fun:1!'.,
g(t) -
f(.p(t)¡p ' \t ), t € J
admite
UI'li.t
prir.'.1Uvo)
Gen J, esto es
G'(t) " 9(t) -f(..p( t ))'I"(t), Y-t €J
,'>e
tiene
Sf (x )dx -
S e g (tl~t S
• G(t)
f (1P(t ) jop ' (tldt
. . •• •• U )
-GI",
-, (x))
qIlIiiI
te
... e
Vemostracj(;"
f'ara du'lOst.nJ!
~9
Ilon6t.v1te . entonoelS
Su dv • u(v
+ el -
f(V ..
Cldu • uv
-J
v du
Esto ~1gni.fica que la cnnst..ante
e o:msiderada
no figura en el resultado
final.
www.gratis2.com
se elige
a::m:l
lafunc:16n u aquellos que se s1npUf!.
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- 2i-
. {
E~mp l()
27.
Solución.
dv- dx
..
v - x
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Pcr la f6n!u1.a da integrac161 pcc ¡::artes
S
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SOlución.
.. x l o x - x +
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3. - 1
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•.•. '
dv - e d x
1'" -l e
luego
En la rutina integral {es rnlis s inple que l a o r 1giMl} oplicarrcs nucvanente
la
:int.egra ci~
par p;;utes, a 3! eSCX'JC"}mOll
1 ..
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( E.¡emp/o 29.
So /UC;/1 11.
Calcular J
-S
e3Xcos bx dx
r sx+ x senx- 1...
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