integral

INTEGRALES MÚLTIPLES
INTEGRAL TRIPLE

Prof. Isidoro Ruiz Arango

Prof. Isidoro Ruiz Arango

LOGROS DE
APRENDIZAJE
1. Utilizar una integral triple para
calcular el volumen de una
regiónsólida.
2. Hallar el centro de masa y los
momentos de inercia de una
región sólida.
3. Resolver problemas de
aplicación usando la integral
triple.

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Región sólida deQ

Es la aplicación sucesiva
de tres procesos de
integración
definida
simple a una función de
tres variables f (x, y, z);
teniendo en cuenta los
límites
en
que
se
encuentran lasvariables,
para saber cual diferencial
(dx, dy, dz) se utilizará
primero y los que siguen.

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UTILIDAD DE LAS INTEGRALES TRIPLES:
Generalmente se utilizan para el cálculo devolúmenes de curvas espaciales cerradas o de
cuerpos espaciales tales como esferas, elipsoides,
cubos, tetraedros o combinaciones de estas
superficies.

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INTEGRALESTRIPLES EN COORDENADAS
CARTESIANAS RECTANGULARES
Definición:
Si f es continua sobre una región sólida acotada Q,
entonces la integral triple de f sobre Q es:
n

 f(x,y,z).dV = lim  f ( x, y,z )V
 0

Q

i 1

siempre que el límite exista. El
volumen de la región sólida Q está
dado por:

Volumen de Q   f(x,y,z).dV
Q

i

 f(x,y,z).dV

Si la región Q es simple,la integral triple: Q
Puede evaluarse con una integral iterada usando algunos
de los 6 posibles órdenes de integración.
Techo Piso
 dz dy .dx
 dz dx.dy

 dy dx.dz
dV  
.
 dy dz.dx dx dz.dy

 dx dy .dz


El orden de las diferenciales
dependerá de la forma del
recinto V

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Considerando el orden dzdydx y de acuerdo al Teorema
de Fubini,sea f continua en una región sólida definida
por Q, a≤x≤b, h1(x)≤ y ≤ h2(x), g1(x,y)≤ z ≤ g2(x,y) donde
h1, h2, g1 y g2, son funciones continuas. Entonces:
b

h2 ( x )

a

h1 ( x )

...