Integral


INDICE
Unidad 1 Teorema fundamental del calculo.

1.1 Medicion aproximada de figuras amorfas.

1.2 Notacion sumatoria.

1.3 Sumas de Riemann.

1.4 Definicion de integral definida.

1.5 Teorema de existencia.

1.6 Propiedades de la integral definida.

1.7 Funcion primitiva.

1.8 Teorema fundamental del cálculo.

1.9 Calculo de integrales definidas.

1.10 Integrales Impropias.

Teoremafundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de lasmatemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de lasderivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow,denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Medicion Aproximada De Figuras Amorfas
Medida Aproximada de Figuras Amorfas
Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmulaproduciría el resultado.
Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimaresta área.
La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante.
Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada.
Estas son: 1 Cuando el área está limitada por lacurva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b.
El gráfico de la función se muestra a continuación,


Para estimar el área de tal figura, considereque el área bajo la curva estácompuesto por un gran número de delgadas tiras verticales.
Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dxpara la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x)
El área total Ade la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada.
Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.

2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y),el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación,






Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dypara la altura y xpara la longitud. El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y)
El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, yla curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g(y) dy

3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el...