Integral

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Integral definida e indefinida

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA
SUMA DE RIEMANN
Sea un intervalo cerrado

[a, b] , al conjunto de puntos intervalo se le conoce como partición del intervalo [a, b] .

Pn = { xo , x1 , x2 ,⋅ ⋅ ⋅, xn

}

contenidos en dicho

Esto implica que:x0 = a, xn = b, xi −1 < xi donde i = 1, 2, 3, 4, ⋅ ⋅ ⋅ n

A cada subintervalo se le conoce como celda. A la distancia entre los puntos extremos de cada celda se le conoce como amplitud de la celda. La amplitud de la primera celda es: La amplitud de la segunda celda es: La amplitud de la tercera celda es: Gráficamente:

∆1 x = x1 − x0

∆ 2 x = x2 − x1
∆ 3 x = x3 − x 2

a

b

x xo x1x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x 10 x 11 x 12 x n

Como se puede advertir, la amplitud de las celdas viene dado por la diferencia de sus valores finales e iniciales. Por lo tanto, en general, la amplitud de cada celda viene dada por:

∆ i x = xi − xi−1
A la mayor amplitud de las celdas de una partición se le denomina norma de la partición y se le denota por

∆

.

Ejemplo. Dado el intervalo[0,6], efectuar dos particiones diferentes de seis celdas y en cada caso determinar cuál es su norma. 1

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Solución. a) Si se hace una partición de igual amplitud:

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

0

1

2

3

4

5

6

x

∆1 x = x1 − x0 = 1 − 0 = 1∆ 2 x = x2 − x1 = 2 −1 = 1
∆ 3 x = x3 − x 2 = 3 − 2 = 1 ∆ 4 x = x4 − x3 = 4 − 3 = 1 ∆ 5 x = x5 − x 4 = 5 − 4 = 1 ∆ 6 x = x6 − x5 = 6 − 5 = 1
∴ su norma es

∆ =1

b) Se hace una partición de la manera que se indica:

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

0

0 .8

1 .7

2 .9

3 .6

4 .9

6

x

2

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Integral definida eindefinida

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

∆1 x = x1 − x0 = 0.8 − 0 = 0.8
∆ 2 x = x2 − x1 = 1.7 − 0.8 = 0.9
∆ 3 x = x 3 − x 2 = 2 .9 − 1 .7 = 1 .2 ∆ 4 x = x4 − x3 = 3.6 − 2.9 = 0.7 ∆ 5 x = x5 − x4 = 4.9 − 3.6 = 1.3

∆ 6 x = x6 − x5 = 6 − 4.9 = 1.1
∴ la norma de esta partición es

∆ = 1.3

Sea una función y = f x definida y limitada en un conjunto D. Considérese una particiónen dicho conjunto que contenga n subintervalos. Si se escoge un punto ξ en cada subintervalo de la partición de forma tal que:

()

ξ1 ∈ [x0 , x1 ] ξ2 ∈ [x1 , x2 ] ξ 3 ∈ [x2 , x3 ]
y en general:

o bien: o bien: o bien:

x0 ≤ ξ1 ≤ x1

x1 ≤ ξ2 ≤ x2 x 2 ≤ ξ 3 ≤ x3
xi −1 ≤ ξ i ≤ xi

ξi ∈

[xi−1 , xi ]

o bien:

Si se forma la suma de productos del valor de f en cada punto ξ porla amplitud de la celda respectiva, se tendrá:

f (ξ1 )∆1 x + f (ξ 2 )∆ 2 x + f (ξ 3 )∆ 3 x + f (ξ 4 )∆ 4 x + ⋅ ⋅ ⋅ + f (ξ i )∆ i x + ⋅ ⋅ ⋅ + f (ξ n )∆ n x
que en forma concentrada se puede representar como:

∑ f (ξ )∆ x
i =1 i i

n

expresión que se conoce como Suma de Riemann. Esta expresión calcula la suma de cada una de las bases (las celdas,

son las f ξ ) de una función, dada unapartición. Esto determina la suma de las áreas de los rectángulos formados. Ejemplo.

( )

∆x ) por su respectiva altura (que

Dada la función

y = − x 2 + 16 con 0.5 ≤ x1 ≤ 3 , obtener la suma de Riemann para la función dada la partición: x0 = 0.5, x1 = 1, x2 = 1.3, x3 = 1.9, x4 = 2.1, x5 = 2.5, x6 = 2.9, x7 = 3

Solución: Los puntos elegidos de cada celda son:

ξ1 = 0.8, ξ 2 = 1.2, ξ3 = 1.5, ξ 4 = 2, ξ 5 = 2.3, ξ 6 = 2.7, ξ 7 = 2.95

Graficando se tiene:

3

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y

16

12

8

4

0.5

1

1.3

1.9 2.1

2.5

2.9 3

x

0.8

1.2

1.5

2

2.3

2.7 2.95

La suma de Riemann es:

∑ f (ξ )∆ x = f (ξ )∆ x + f (ξ )∆
i...