Integral

Universidad de Talca Instituto de Matem´ticas y F´ a ısica

C´lculo Integral (Ingenier´ Forestal) a ıa 3 de septiembre de 2010

Taller N◦ 1
Antiderivada y m´todo de sustituci´n e o 1. Determine la antiderivada m´s general de la funci´n: a o (a) f (x) = x20 + 4x10 + 8 (b) f (x) = 2. Halle f : (a) f (x) = 6x + 12x2 1 (b) f (x) = 1 + 2 , f (1) = 1 x (c) f (x) = 12x2 −6x+2, f (0) = 1, f (2) = 11(d) f (x) = sin x + cos x, f (0) = 3, f (0) = 4 3 5 − 4 2 x x x3 + 2x2 √ x (d) f (x) = 3 cos x − 4 sin x (c) f (x) = (e) f (x) = 2x + 5(1 − x2 )−1/2 (f) f (x) = x2 + x + 1 x

3. Se arroja hacia arriba una pelota, con velocidad de 48 pie/s desde el borde de un acantilado a 432 pies sobre el fondo. Calcule su altura sobre el fondo a los t segundos despu´s. ¿Cu´ndo e a alcanza su altura m´xima?¿Cu´ndo llega al fondo? a a 4. Demuestre que para el movimiento rectil´ ıneo con aceleraci´n constante a, velocidad inicial o v0 y desplazamiento inicial s0 , el desplazamiento, en el momento t es 1 s = at2 + v0 t + s0 2 5. Desde el borde de un acantilado a 432 pies sobre el fondo se arrojan dos pelotas hacia arriba. la primera se avienta a una velocidad de 48 pie/s, y la segunda se arroja un segundodespu´s, e a una velocidad de 24 pie/s. ¿Se encuentran alguna vez esas pelotas? 6. Una empresa estima que el costo marginal, en d´lares por art´ o ıculo, cuando produce x art´ ıculos, es de 1.92 − 0.002x. Si el costo de producci´n unitario es $562, calcule el costo de o elaborar 100 art´ ıculos. √ 7. La densidad lineal de una varilla de 1 m de longitud es ρ(x) = 1/ x, en gramos por cent´ ımetro,donde x se mide en cent´ ımetros desde uno de los extremos. Calcule la masa de la varilla. 8. Eval´e las siguientes integrales indefinidas : u (a) (b) (c) x(x2 + 1)3/2 dx x2 cos(1 − x3 ) dx √ (1 + x)9 √ dx x (d) (e) (f) sec3 x tan x dx 1+x dx 1 + x2 x dx 1 + x4 (g) (h) (i) xa b + cxa+1 dx

x √ dx 4 x+2 √ x2 dx 1−x

Sistemas de ecuaciones no lineales 1. Encuentre la soluci´n de los siguientessistemas o (a) (b) (c) y = x+4 (x − 1)2 = y 2 x2 + 3xy + y 2 = 20 xy − y 2 = 0 y4 + 1 = x x − 2y 2 = 0

2. Un terreno rectangular tiene 300 metros de per´ ımetro y 5000 metros cuadrados de ´rea. a ¿Cu´les son sus dimensiones? a 3. Un ingeniero va a dise˜ar una pantalla rectangular para computadora con una diagonal de n 19 pulgadas y un ´rea de 175 pulgadas cuadradas. Encuentre las dimensiones dela pantalla. a 4. La suma de los per´ ımetros de dos c´ ırculos es 16 π, y la diferencia de sus ´reas es 32 π. ¿Cu´les a a son sus radios? 5. Encuentre las longitudes de los lados de un tri´ngulo rect´ngulo con un ´rea de 30 cm2 si su a a a hipotenusa es de 13 cm. 6. Encuentre la soluci´n de los siguientes sistemas o   3x + λ = 0 3y + λ = 0 (a)  xy − 6 = 0  x2 = 2yλ  xy = yλ (b)  2 x + y2 =1 Respuestas: Antiderivada y m´todo de sustituci´n e o 1. Determine la antiderivada m´s general de la funci´n: a o x21 4x11 + + 8x + C 21 11 5 3 (b) F (x) = − + 3 + C x 3x 2 7/2 4 5/2 (c) F (x) = x + x + C 7 5 (a) F (x) = 2. Halle f : (a) f (x) = x3 + x4 + Cx + D 1 (b) f (x) = x − + 1 x (c) f (x) = x4 − x3 + x2 − x + 1 (d) f (x) = − sin x − cos x + 5x + 4 (d) F (x) = 3 sin x + 4 cos x + C (e) F(x) = x2 + 5 arcsin(x) + C 1 (f) F (x) = x2 + x + ln |x| + C 2

3. La altura m´xima se alcanza cuando v(t) = 0, esto es, pasado los 1.5 seg y la pelota llega al a suelo a los ≈ 6.9 seg.

4. Solamente hay que demostrar. 5. Tenemos s1 (t) = −16t2 + 48t + 432 y s2 (t) = −16t2 + 24t + 432 y calculamos s1 (t) = s2 (t − 1) entonces se encuentran en t = 5 seg. 6. El costo de producir 100 art´ ıculoses $742.08 √ dm 7. Tenemos que ρ = = x−1/2 y como m(0) = 0. La masa de la varilla es m(100) = 2 100 = dx 20 g. 8. Eval´e las siguientes integrales indefinidas : u (a) (b) (c) (d) (e) 1 2 (x + 1)5/3 + C 5 1 − sin(1 − x3 ) + C 3 √ 1 (1 + x)10 + C 5 1 sec3 x + C 3 1 ln(x2 + 1) + arctan(x) + C 2 (f) (g) (h) 1 arctan(x2 ) + C 2 2 (b + cxa+1 )3/2 + D 3c(a + 1) 8 4 (x + 2)7/4 − (x + 2)3/4 + C 7 3

√ 4...