Integrales calculo 3

INTEGRALES SOBRE TRAYECTORIAS
Definición
Llamaremos trayectoria en ‘8 a una función 5 , donde
5 À Ò+ß , Ó qqqqqp ‘8
> qqqqqp 5 Ð>Ñ
donde 5Ð>Ñ À œ ÐB" Ð>Ñß B# Ð>Ñß ÞÞÞß B8 Ð>ÑÑ
con B3 À Ò+ß , Ó qqqqqp ‘ funciones componentes
> qqqqqp B3 Ð>Ñ
se dice que À 5 Ð+Ñ ß 5 Ð,Ñ son los puntos extremos de la trayectoria

Observación
Si 5 es una trayectoria, con 5 diferenciable ( ó de clase G " Ñßdiremos que 5 es una trayectoria diferenciable ( ó una trayectoria de clase G " Ñ
Ejemplo
Si P À

B#
#

œ

C"
$

œ

D"
"

œ>

à >−‘ ß

recta en ‘$

5 À ‘ qqqqqqqqqqqp ‘$
> qqqqqp Ð#  #> ß  "  $> ß "  >Ñ
donde claramente M71Ð5 Ñ œ P
se tiene que

En general

1

Si

PÀ

BB!
+

œ

CC!
,

œ

DD!
-

œ>

à >−‘ ß

recta en ‘$

se tieneque
5 À ‘ qqqqqqqqqqqp ‘$ es una trayectoria
> qqqqqp ÐB!  +> ß C!  ,> ß D!  ->Ñ
donde claramente M71Ð5 Ñ œ P
Ejemplo
Dada G À B#  C# œ qqqqqp ÐÑ ß ÑÑ
donde claramente M71Ð5 Ñ œ G

En general
Si G À ÐB  2Ñ#  ÐC  5 Ñ # œ qqqqqp Ð2  Ñ ß 5  ÑÑ
donde claramente M71Ð5 Ñ œ G

Ejemplo

2

Dada G À

ÐB2Ñ#
+#



ÐC5Ñ#
,#

œ " elipse

se tiene que
5 À Ò!ß #1 Óqqqqqqqqqqqp ‘# es una trayectoria
> qqqqqp Ð2  +-9=Ð>Ñ ß 5  ,=/8Ð>ÑÑ
donde claramente M71Ð5 Ñ œ G

Ejemplo
La cicloide determinada por las ecuaciones en coordenadas paramétricas
B œ #Ð>  =/8Ð>ÑÑ
à >−‘
C œ #Ð"  -9=Ð>ÑÑ
se tiene que está determinada por la trayectoria
5 À ‘ qqqqqqqqqqqp ‘#
> qqqqqp Ð#>  #=/8Ð>Ñ ß #  #-9=Ð>ÑÑ
donde claramente M71Ð5 Ñ œ a la cicloide

es la funciónposición de un punto en una circunferencia de radio 2
rodando sobre el eje.
Observación
3

1.-

En general , una partícula que se mueve en el espacio describe una
curva suave.No es común que una particula desaparezca en un punto
y reaparezca en otro

2.-

Si

5 À Ò+ß , Ó qqqqqp ‘8 es una trayectoria diferenciable
> qqqqqp ÐB" Ð>Ñß B# Ð>Ñß ÞÞÞß B8 Ð>ÑÑ
se sabe que

Ô B" Ð>Ñ ×
ßß
ß
ß
ß
Ö B# Ð>Ñ Ù
5 Ð>Ñ œ Ö
Ùlo cual denotaremos por 5 Ð>Ñ œ ÐB" Ð>Ñß ÞÞß ÞB8 Ð>ÑÑ
Þ
ß
Õ B Ð>Ñ Ø
8
ß

Definición
Sea 5 À Ò+ß , Ó qqqqqqqqp ‘8
una trayectoria de clase G "
> qqqp ÐB" Ð>Ñß B# Ð>Ñß ÞÞÞß B8 Ð>ÑÑ
se tiene que
ß

ß

ß

1.- El vector velocidad en t , está dado por @Ð>Ñ œ 5 Ð>Ñ œ ÐB" Ð>Ñß ÞÞß ÞB8 Ð>ÑÑ
ß

2.- La rapidéz de la particula en ßel instante > está dadapor =Ð>Ñ œ m5 Ð>Ñm
( la longitud del vector 5 Ð>Ñ )

3.- En el caso 8 œ #ß 8 œ $
se tiene que la ecuación de la recta tangente a 5Ð>Ñ en > œ >! es P
donde
ß
P À ÐBß CÑ œ 5 Ð>! Ñ  -5 Ð>ß! Ñ à - − ‘ ß o bien
P À ÐBß Cß DÑ œ 5 Ð>! Ñ  -5 Ð>! Ñ à - − ‘

Definición

4

Sea 5 À Ò+ß , Ó qqqqqqqqp ‘8
una trayectoria de clase G "
> qqqp ÐB" Ð>Ñß B# Ð>Ñß ÞÞÞß B8 Ð>ÑÑ
La longitud de 5 sedefine como 6Ð5 Ñ , donde
6Ð5 Ñ œ '+ m5 Ð>Ñm.>
,

ß

es decir
1.- En ‘#

ß
ß
#
à 6Ð5 Ñ œ '+ ÈÐB Ð>ÑÑ#  ÐC Ð>ÑÑ# .>

2.- En ‘$

ß
ß
ß
#
à 6Ð5 Ñ œ '+ ÈÐB Ð>ÑÑ#  ÐC Ð>ÑÑ#  ÐD Ð>ÑÑ# .>

,

,

Ejemplo
Si 5 À Ò!ß #1 Ó qqqqqqqqqp ‘# es una trayectoria de clase G "
> qqqqqp Ð%-9=Ð>Ñ ß %=/8Ð>ÑÑ
#
con lo cual 6Ð5 Ñ œ '0 È"'=/8# Ð>Ñ  "'-9=Ð>Ñ.>
#1

œ '0 %.> œ %>¸0 œ )1#1

#1

Definición
Si 5 À Ò+ß , Ó qqqqqqqqqp ‘8
> qqqqqp ÐB" Ð>Ñß ÞÞÞ ß B8 Ð>ÑÑ

es una trayectoria

Diremos que la trayectoria es suave si es de clase G " y los B3 Ð>Ñno se
anulan simultaneamente,excepto quizás en los puntos extremos de Ò+ß , Ó
y diremos que es suave a trozos si es suave en cada sub-intervalo
Observación
La imagen de una trayectoria de clase G " , no esnecesariamente
" muy suave " ya que puede tener " dobleces " puntiagudos ó cambios
bruscos de dirección
Ejemplo

5

5 À ‘ qqqqqqqqqp ‘# es una trayectoria
> qqqqqp Ð#>  =/8Ð>Ñß #  #-9=Ð>ÑÑ
la cual tiene cuspides en todos los puntos > œ %18 ß 8 − ™
y es continua a trozos en Ò!ß %1 Ó , Ò %1ß )1 Ó ß ÞÞÞÞ

Ejemplo
5 À Ò  "ß " Ó qqqqqqqqqp ‘#
> qqqqqp Ð ¸>¸ß ¸>  " ¸Ñ
#

es una trayectoria...