integrales complehas

Tema 4. Integraci´on de Funciones de Variable Compleja
Prof. William La Cruz Bastidas
7 de octubre de 2002
Tema 4
Integracio´n de Funciones de Variable Compleja
4.1 Integral definida
Sea F(t) una funci´on de variable real con valores complejos definida como
F(t) = U(t) + iV (t),
donde U(t) y V (t) son funciones reales de t continuas a trazos definidas en el intervalo acotado y cerrado a≤elt intervalo≤ b. Bajoaestas≤ t ≤condiciones,b se define como:la funci´on F es continua a trozos y la integral definida de F(t) en
(4.1)
y se dice que F(t) es integrable en [a,b].
Propiedades de la integral definida
Sean F(t) = U(t) +iV (t), F1(t) = U1(t)+iV1(t) y F2(t) = U2(t)+ iV2(t), integrables en [a,b]. A partir de la ecuacio´n (4.1) se deducen f´acilmente las siguientes propiedades dela integral definida.
i) Re . ii) Im .
iii) , para toda constante compleja c. iv) .
v)
Ejemplo Calcular la integral
Solucio´n. Se tiene que eit = cost + isent, ahora, utilizando la ecuacio´n (4.1)

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4.2 Integracio´n de l´ınea
4.2.1 Contornos
Se presentan ahora varias clases de curvas adecuadas para el estudio de las integrales de una funci´on de variable compleja.
Definicio´n 4.1(Curva) Una curva C es un conjunto de puntos z = x+iy en el plano complejo tales que
x = x(t), y = y(t), (a ≤ t ≤ b),
donde x(t) y y(t) son funciones continuas en el intervalo [a,b]. Los puntos de C se pueden describir mediante la ecuaci´on
z(t) = x(t) + iy(t) (a ≤ t ≤ b)
y se dice que z(t) es continua, ya que x(t) y y(t) son continuas.
Definicio´n 4.2 (Curva suave) Una curva C se llama curvasuave, si z0(t) = x0(t) + iy0(t) existe y es continua en el intervalo a ≤ t ≤ b y si z0(t) nunca se hace cero en el intervalo.
Definicio´n 4.3 (Contorno) Un contorno o curva suave a tramos, es una curva que consta de un nu´mero finito de curvas suaves unidas por sus extremos.
Definicio´n 4.4 (Contorno cerrado simple) Sea C un contorno. Se dice que C es un contorno cerrado simple si solamente losvalores inicial y final de z(t) son iguales (z(b) = z(a)).
4.2.2 Integrales de l´ınea
Sea f(z) una funci´on de variable compleja. Sea C un contorno representado por la ecuacio´n
z(t) = x(t) + iy(t) (a ≤ t ≤ b)
que se extiende del punto α = z(a) al punto β = z(b). Supongamos que f(z) = u(x,y) + iv(x,y) es continua a trozos en C, es decir, las partes real e imaginaria,
u(x(t),y(t)) yv(x(t),y(t)),
de f(z(t)) son funciones de t continuas por tramos. Bajo estas condiciones, se define la integral de l´ınea de f a lo largo de C como:
b
f(z)dz = Z f(z(t))z0(t)dt, (4.2)
C a
donde z0(t) = x0(t) + iy0(t).
ecuacio´nAsociadoz = alz(−contornot) dondeC−deb ≤lat ≤ −ecuacio´na. Por(4.2)tanto,, esta´ el contorno −C, el cual se describe por la
−b
f(z)dz = Z f(z(−t))z0(−t)dt, (4.3)
−C −adonde z0(−t) denota la derivada de z(t) con respecto a t evaluada en −t.
Propiedades de las integrales de l´ınea
Sean f(z) y g(z) funciones de variable compleja continuas a trozos sobre un contorno C descrito por la ecuacio´n z = z(t) (a ≤integralest ≤ b). deA l´ınea.partir de la ecuacio´n (4.2) se deducen f´acilmente las siguientes propiedades de las
i) RC af(z)dz = aRC f(z)dz, para todaconstante compleja a.
ii) RC [f(z) + g(z)] dz = RC f(z)dz + RC g(z)dz.
iii) Si C consta de una curva C1 desde α1 hasta β1 y de la curva C2 desde α2 hasta β2, donde β1 = α2, se cumple: Z Z Z
iv))
Ejemplo Calcular
|
donde |z| = 1 es la circunferencia de centro en 0 y radio 1, recorrida en sentido positivo.
Solucio´n. Una parametrizacio´n de la circunferencia |z| = 1 es:
z(t) = eit, (0 ≤ t ≤ 2π).As´ı,

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4.3 Teorema de Cauchy-Goursat
El siguiente resultado se conoce como Teorema de Cauchy-Goursat.
Teorema 4.1 (Teorema de Cauchy-Goursat) Sea C un contorno cerrado simple. Sea f una funci´on anal´ıtica sobre y en el interior de C. Entonces
f(z)dz = 0. (4.4)
C
El Teorema de Cauchy-Goursat es uno de los m´as importantes en la teor´ıa de variable compleja. Una de las razones es...