Integrales con coordenadas polares

Cambio a coordenadas polares en una integral doble
Si deseamos integrar funcion definida dentro de una region , generalmente lo hariamos evaluando la integral doble sobre la region de integracionque definiriamos utilizando los metodos que hemos visto antes en coordenadas rectangulares. Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar con ciertas figuras circulares (p.ej. circulos,paraboloides, elipsoides, etc.), la definicion de su region de integracion se vuelve algo complicada.
Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas polares, dadoque estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares.
Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares

Entonces, haciendo esta transformacion, tendriamos queahora la region esta definida como

el diferencial de area se definiria como

y la integral quedaria como

Teorema

Si es continua en un rectangulo dado por , donde entonces,

AlgunasIntegrales dobles son mucho más fáciles de calcular en forma polar que en forma Rectangular. Esto es especialmente cierto para regiones circulares, en forma de cardioide o de pétalo de curva Rosa, eintegrando donde aparezca

Ejemplo # 1
recordatorio Evaluar:
*
donde R es la región del semi-plano superior limitado por los círculos

y .

Ejemplo # 2
* Determinar el volumen delsólido acotado por el plano y el paraboloide

Resolviendo:

Después de Integrar:

Ejemplo # 3
Calcular el volúmen de un sólido que está debajo del paraboloide , encima del plano y dentrodel cilindro .

complementando al cuadrado:

Ahora procedemos a integrar:

Ejemplo # 4
Encuentre la masa y el centro de masa de un triangulo con vértices en . Densidad

Ejemplo # 5
Ladensidad en cualquier punto en una lamina semicircular es proporcional a la distancia al centro. Encuentre el centro de masa.

Ejemplo # 6
inside the sphere outside the cylinder

ahora despejo...