Integrales cíclicas

García Arredondo Mauricio
Tema: ‘Integrales cíclicas’

Historia de las integrales cíclicas.
Una integral por partes tiene la particularidad que puede crear una integralcíclica y en lo general indica una mala selección de u y dv. Si al ir resolviendo una integral por partes llegamos a la misma integral original, se dice que es una integral cíclica. Eso indica que seharía mas largo tu resultado pero siempre con la misma integral original.
En varios problemas se puede llegar a una ‘integral parecida a una cíclica’ y la solución cambia mucho. Esto pasa si después deuno o varios pasos resulta que tu integral original vuelve a parecer pero con un coeficiente k diferente de 1.

Solución al problema ∫ sec³ [x] dx:
∫ sec³ [x] dx = ∫ sex [x] * sec² [x] dx
➊Resolver por Integración por Partes, cuya Formula es:
∫u dv = u v - ∫v du
Donde:
u = sec [x]…………….dv = sec² [x]
du = sec[x] tan[x] …….v = tan [x]
➋ Resolver:
∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec[x] tan² [x] dx
➌ Utilizar la siguiente Identidad:
tan² [x] = sec² [x] – 1
➍ Sustituir en Integral
∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec [x] tan² [x] dx
∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec[x] [sec² [x] – 1] dx
∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ [sec³ [x] + sec [x] ] dx
➎ Ahora se tienen 2 Integrales más:
∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec³ [x] dx + ∫ sec [x] dx
➏ Como se puedever, la 1ra integral que tenemos, es igual a la integral original, por lo cual la mandamos de lado izquierdo de la igualdad, pero con signo contrario, la 2da integral la resolvemos
∫ sec³ [x] dx + ∫sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] + Ln [ sec [x] + tan [x]
➐ Sumar integrales y el [2], que multiplica a las integrales lo pasamos del otro lado de la igualad, pero dividiendo
2 ∫ sec³ [x] dx = sec[x] tan [x] + Ln [ sec [x] + tan [x]
∫ sec³ [x] dx = [½] sec [x] tan [x] + [ ½ ] Ln [ sec [x] + tan [x] + C
Este es el Resultado
∫ sec³ [x] dx = [½] sec [x] tan [x] + [ ½ ] Ln [ sec [x] + tan...