Integrales de contorno

Formalismo de Integral de camino en Teorias de Campos
Alumno: Mat´ Leoni Olivera ıas Profesor: Gustavo Lozano
Departamento de Fisica, Universidad de Buenos Aires

Resumen La motivaci´n de este trabajo es extender lo estudiado en el curso “Introducci´n a la o o teoria de Campos”. En el curso mencionado se estudio la cuantizaci´n de diversas teor´ o ıas de campos en el contexto de lacuantizaci´n can´nica. En este trabajo se introducen los o o metodos de cuantizaci´n a trav´s del formalismo de la integral de camino. o e

´ Indice
1. Introducci´n y Motivaci´n historica o o 1.1. Formalismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sugerencia de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Construcci´n de Feynman o2.1. Nucleo de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Integral de Camino en la primera cuantizaci´n . o 2.3. Realizacion explicita de la conjetura de Dirac . 2.4. Productos ordenados temporalmente y funciones 2.5. Amplitud de persistencia del vacio . . . . . . . . 3. Generalizacion a Teorias de Campos 3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Herramientas para calcular . . . . . .3.2.1. Campos Euclideos . . . . . . 3.2.2. Integrales Gaussianas . . . . . 3.2.3. Desarrollo en serie de W [J] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 6 6 7 11 13 16 19 19 21 21 22 24

4. Cuantizaci´n de teor´ bosonicas o ıas 27 4.1. Campo escalar libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2. Teor´ λφ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31 ıa 5. Cuantizaci´n de teor´ fermionicas o ıas 37 5.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 o 5.2. Algebra de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3. Campo de Dirac Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6. Teorema de Noether 50 6.1. Teorema de Noether cl´sico . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 a 6.2. Teorema de Noether cu´ntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 a

1

Nota Bibliogr´fica: Independientemente de las referencias bibliogr´ficas aisladas a lo largo a a de este trabajo, el mismo, esta basado fundamentalmente en los textos de W. Greiner [1], J.J. Sakurai [2] y F. Schaposnik [3].

2

1.1.1.

Introducci´n y Motivaci´n historica o o
Formalismos

Las primeras construcciones matem´ticas consistentes del proceso que llamamos cuantia zaci´n son aquellas que se deducen de los esbozos desarrollados por Erwin Schr¨dinger [4] y o o Werner Heisenberg [5] alrededor del a˜ o 1926. Estas formulaciones fueron posteriormente esn tructuradas en un conjunto de postulados en los que la ideaprincipal es elevar las variables clasicas de un sistema a operadores y establecer, en analog´ a los corchetes de Poisson clasiıa cos, un algebra de anticonmutaci´n de estos operadores. Las magnitudes fisicas son pues los o autoestados de los operadores hermiticos que describen los observables fisicos. La diferencia entre la formulaci´n de Heisenberg y la de Schr¨dinger esta en la distinci´n o o o decual es el objeto que evoluciona en el tiempo. En ambas formulaciones existe un estado que describe todo aquello que podemos conocer del sistema (Interpretacion de Copenhaguen) que en la representaci´n de Schr¨dinger evoluciona en el tiempo y en la representaci´n de Heisenberg o o o no. Por otra parte, los operadores estan fijos en el tiempo en Schr¨dinger y varian en el tiempo o en Heisenberg....