Integrales De Fourier

CASOS ESPECIALES DE DESARROLLO DE SERIE DE FOURIER

Una función se dice es par si: f-x=fx, de este modo la función Cosx es par, la función x2 es par, etc…

Ahora entonces, su desarrollo enserie de Fourier siendo f(x) par sólo tendrá términos coseno y el término independiente a0, adoptará la forma siguiente:

fx=a0+a1Cosx+a2Cos2x+a3Cos3x+….

Ello procede de realizar el cálculode la integral:

bn=1π-ππfx.Senx dx
Al realizar este cálculo descompondremos la función en el intervalo –π,0 y en el 0,π, pues en ambos la función adopta un valor diferente:bn=1π-ππfx.Senn.xdx=1π∙-π0fx.Senn.xdx+1π∙0πfx.Senn.xdx

Haciendo x=-t, en la primera integral, resultaría:

-1π∙+π0f-t.Senn.-tdt= +1ππ0f-t.Senntdt

Por que se verifica que la función f(t) es par, resulta que:ft=f-t. Además el seno es una función impar, luego: Sen-n=-sen(n)
Si afectamos todo con el signo negativo podemos permutar los límites integración, quedando:1π-π0fx.Sen(n.x)dx=-1π0πft.sen(n.t)dt

“t” es una variable cualquiera. Adoptando la variable x:

-1π0πftSen(n.t)dt=1π-π0fx.Sen(n.x)dx=-1π0πfxSen(n.x)dx

Entonces:

bn=-1π0πfxSen(n.x)dx+1π0πfxSenn.xdx=0

Decimos que lafunción es impar si se cumple que: f-x=-fx, así la función senx es impar, la función x3 es impar, etc…

Caso de que una función f(x) sea impar, entonces su desarrollo en serie de Fourier, solamentetendrá términos en seno, teniendo la forma siguiente:

fx=b1.senx+b2.sen2x+b3.sen3x+…

Por ser impar el cálculo de los coeficientes bn utilizaría la siguiente formula:

bn=-ππfxSen(n.x)dxEl periodo escogido es –π,π, puede también tomar los siguientes valores:

Para –π<x<-π2, entonces:fx=-k
Para -π2<x<π2, entonces:fx=x
Para π2<x<π, entonces:fx=k

Nosdamos cuenta la integración estará dividida en tres partes, siendo cada una de ellas la correspondiente a dichos intervalos:

bn=1π-π-π2fxSen(n.x)dx+-π2π2fxSen(n.x)dx+π2πfxSen(n.x)dx...