Integrales de funciones trigonometricas

Integrales de funciones trigonométricas
A continuación veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones
trigonométricas, que posteriormente se utilizarán en el método de sustitucióntrigonométrica.
I. Potencias de senos y cosenos senn x dx n x dx ∫ ∫cos
Para resolver este tipo de integrales, consideraremos dos casos:
a) Si n es impar, es decir n = 2k +1, factorizamos elintegrando, por ejemplo
senn x dx = sen2k+1 x dx = (sen2 x)k senx dx
Utilizamos la identidad sen2x + cos2x =1 y tomamos el cambio de variable u =cosx.
De manera análoga en el caso de las potencias delcoseno, tomando el cambio de variable
u= senx.
b) Si n es par, es decir n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo
senn x = sen2k x = (sen2 x)k
ó en el caso del coseno
cosn x = cos2k x = (cos2x)k
y utilizamos las identidades trigonométricas:
2
cos 1 cos(2 )
2
sen2x 1−cos(2x) ó 2 x x
Ejemplo 1. Resolver ∫ sen x dx 3
Solución:
∫sen3x dx ∫sen 2x senx dx ∫(1−cos2 x) senx dxsea u = cosx, entonces du = -senx, y al sustituir en la integral obtenemos:
∫ sen x dx ∫ −x senx dx −∫ −u du u −u c x −cos x c
3
cos
3
(1 cos ) (1 )
3 3
3 2 2
Ejemplo 2.Resolver ∫ x dx cos5
Solución:
cos x dx (cos x) cos x dx (1 sen x) cos x dx
2
2
2
5 2 ∫ ∫ ∫ −
sea u = senx, entonces du = cosx, y al sustituir en la integral obtenemos:
∫ x dx ∫ −u du ∫−u u du u −u u c senx −sen x sen x c 3 5
2
3 5
cos (1 ) (1 2 ) 2
3 5 3 5
2 4
2
5 2
Ejemplo 3. Resolver ∫ sen4x dx
Solución:
∫ sen x dx ∫ sen x dx ∫ −x dx ∫ (1−2 cos(2x)cos (2x)) dx
4
) 1
2
( ) (1 cos(2 ) 2
2
4 2 2
= ∫ dx −∫ x dx ∫cos (2x) dx
4
cos(2 ) 1
2
1
4
1 2
II. Productos de potencias de senos y cosenos ∫senmx cosn x dx .
a) Si m y n son pares,utilizaremos las identidades:
2
cos 1 cos2
2
sen2 x 1−cos 2x y 2 x x
b) Si m ó n es impar, utilizaremos la identidad sen2x + cos2x = 1
II. Productos de potencias de tangentes y...