Integrales De Funciones Trigonométricas

´
´
Metodos de Integracion

Contenido
1

Introducci´n
o

1

2

Integrales Simples

3

3

4

Dos M´todos Fundamentales
e
3.1 Sustituci´n o Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
3.2 Integraci´n por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Integraci´n de Funciones Trigonom´tricas
o
e
n

5
5
8
11

n4.1

Integrales de la forma

sen x dx y

4.2

Integrales de la forma

sen m x cosn x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3

Integrales de la forma

tann x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.4

Integrales de la forma

secn x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.5

Integrales de la forma

tanm x secn x dx. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 16

4.6

Integrales de la forma

sen nx cos mx dx con n = m. . . . . . . . . . . . 17

4.7

Integrales de la forma
sen nx sen mx dx o

cos x dx. . . . . . . . . . . . . . . 11

cos nx cos mx dx con n = m. . . . . . . . . . . . 18

5

Integraci´n por Sustituciones Trigonom´tricas
o
e

19

6

Integraci´n de Funciones Racionales
o

25

7Funciones Hiperb´licas y Sustituciones Hiperb´licas
o
o

33

8

Integrandos Racionalizables
8.1 Funciones racionales de potencias fraccionarias
8.2 Funciones racionales de senos y cosenos . . . .
√
8.3 Funciones racionales del tipo R(x, √1 − x2 ) . .
8.4 Funciones racionales del tipo R(x, x2 − 1) . .
v

.
.
.
.

.
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..
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.
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.
.

37
37
38
39
40

vi

Contenido
8.5

9

√
Funciones racionales del tipo R(x, x2 + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

103 Integrales

10 Respuestas

43
47

1. Introducci´n
o
La definici´n de la integral de una funci´n continua fen un intervalo [a, b] como el l´
o
o
ımite
de las sumas parciales de particiones rectangulares, en s´
ımbolos
n

b

f (x) dx = lim
a

n→∞

f (αi )∆xi ,
i=1

no nos provee de un conjunto de reglas operativas para resolver integrales de manera tan
precisa como lo son el conjunto de reglas para resolver derivadas. Es el Teorema Fundab

mental del C´lculo que nos da una mejorheur´
a
ıstica para calcular el valor de

f (x) dx,
a

la cual es el punto de partida de los m´todos expuestos aqui: h´llese una funci´n g tal que
e
a
o
b

g (x) = f (x); luego

f (x) dx = g (b) − g (a). La funci´n g es unica salvo constante aditiva
o
´

a

y est´ definida para todos los valores de x donde f (x) est´ definida. Por todo esto y por
a
a
ser nuestro objetivo enestas notas elaborar m´todos para hallar g , obviaremos los l´
e
ımites
b

de integraci´n a y b (por lo que tampoco nos interesar´ calcular el valor de
o
a

f (x) dx) y,
a

en general, trabajaremos con la integral indefinida
f (x) dx
cuya soluci´n tiene la forma g (x) + C , donde g es una funci´n que satisface
o
o
g (x) = f (x)

(y es esta ultima condici´n la que utilizamos paraverificar que, en efecto, g es una soluci´n
´
o
o
de la integral.)
El proceso de hallar una soluci´n para una integral es lo que se denomina integrar
o
una funci´n o simplemente integraci´n. En la expresi´n
o
o
o

f (x) dx = g (x) + C , la funci´n
o

f (x) se llama integrando, la funci´n g (x) se llama primitiva o antiderivada de f y C es
o
la constante de integraci´n, la cualolvidaremos escribir en general (y muchas veces por
o
razones de espacio). Sin embargo, se debe tener siempre presente que son infinitas las
soluciones de una integral indefinida y cualquier par de ellas difieren en una constante.
b

El s´
ımbolo

f (x) dx se atribuye a la inventiva de Leibniz (1646–1716), quien quiso
a

representar con ´ste una suma infinita de rect´ngulos, cada uno de altura...