Integrales de linea, de superficia, teoremas fundamentales

NOTAS DE CLASE CÁLCULO III
Unidad 4: INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFICIE, TEOREMAS FUNDAMENTALES

Guía de Estudio
Doris Hinestroza

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Índice
1. INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFICIE, TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÀLCULO VECTORIAL 3 1.1. Resumen de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Trabajo en clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Problemas resueltos . . . . . . .. . . . . . . . . . . 7 1.4. Exámenes cortos realizados . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Exámenes finales realizados . . . . . . . . . . . . . 17

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GUIA DE ESTUDIO 4
1. INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFICIE, TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÀLCULO VECTORIAL
Resumen de la Unidad

1.1.

1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de uncampo escalar. 2. Plantear y resolver integrales de línea e integrales de superficie. 3. Interpretar las aplicaciones físicas y geométricas de las integrales de lìnea y de superficie. 4. Entender y saber demostrar la ley de la conservación de la energía. 5. Saber las propiedades fundamentales de integrales de lìnea de campos vectoriales. 6. Resolver problemas sobre flujo de un campo vectorial. 7.Operar con gradiente, divergencia y rotor de un campo. 8. Resolver problemas aplicando los teoremas integrales (Gauss, Green y Stokes).

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1.2.

Trabajo en clase

1. ¿Qué es un campo vectorial? Dé tres ejemplos que tengan un signficado físico. − − → → F ·d r y de integral de superficie 2. Escriba la definición de C − − → → F ·d r , lo mismo de las definiciones para campos escalares
S C

f ds yde integral de superficie
S

f dS.

3. Escriba una parametrización de la elipse y de la circunferencia. 4. Si f tiene derivadas continuas parciales sobre R2 y C es cualquier círculo, muestre que C f · dr = 0. i) ¿Qué es un campo vectorial conservativo? ii) ¿Qué es una función potencial? 5. Determine si los siguientes campos son conservativos o no I) F (x, y) = (x2 − yx, y 2 − xy)

II) F (x,y) = (x2 − yx, y 2 − xy) 6. Encuentre la funciòn potencial si F (x, y, z) = i) Escriba la definición de una integral de línea de un campo vectorial, a lo largo de una curva suave C. ii) Escriba la definición de una integral de línea de un campo escalar, a lo largo de una curva suave C, con respecto a la longitud de arco. iii) ¿Cómo evaluaría dichas integrales de línea? − → i) Si F es un campo defuerza. ¿Qué significa
C

→ F · d− ? r

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1 ii) Si k(t) = mv 2 (t) energía cinética. Demuestre que si 2 − : [a, b] ⇒ Ω ⊆ Rn (n = 2, n = 3) entonces → r − → iii) En el caso que F sea un campo de fuerzas conservativo. Demuestre la Ley de la Conservación de la Energía. iv) ¿Qué quiere decir que trayectoria? v) Si sabemos que
C C C

F · dr = k(b) − k(a).

→ F · d− es independiente de la rtoria, ¿qué podemos decir respecto de F ? 7. Enuncie el Teorema de Green.

→ F · d− es independiente de la trayecr

8. Escriba la fórmula para el área encerrada por una curva C en términos de las integrales de línea alrededor de C. − → 9. Sea sea F = (P, Q) un campo vectorial gradiente en R2 . − → ( F = f, donde f es un campo escalar f : R2 → R). a) Muestre que ∂Q ∂P − ∂x ∂y para todos lospuntos (x, y) en un dominio Ω cerrado y acotado. b) Use el teorema de Green para mostrar que P dx + Qdy = 0
∂Ω

donde ∂Ω es la frontera de Ω. 10. Sean b > a > 0 los radios de dos cìrculos concéntrìcos en el − → origen C1 y C2 respectivamente y sea F = (P, Q) un campo vectorial diferenciable en la regiòn anular Ω. 5

Muestre que ∂Q ∂P − ∂x ∂y
Ω

dxdy =
C2

P dx + Qdy −
+ C1

P dx +Qdy

− → 11. Si F es un campo vectorial sobre R3 . − → a) Defina Rot F = − → × F. − → · F.

b) Defina divF = − → c) Si F es un campo de fluídos C ¿Cuáles son las inter− → pretaciones físicas de Rot F y de divF ? − → − → 12. Si F = P i + Q j = (P, Q). ¿Cu’ales son las condiciones − → sobre el campo vectorial F para que este sea un campo conservativo? i) Escriba la definición de una integral de...