INTEGRALES DE LINEA E INTEGRALES ITERADAS

Integrales de línea
Un tipo de generalización de la integral definida se obtiene mediante la sustitución del conjunto [a, b] sobre el que se integra, por conjuntos de dos o tres dimensiones. Esto conduce a las integrales dobles y triples. Una generalización muy diferente resulta de la situación de [a, b] por una curva C. La integral resultante se llama integral de línea, pero con mayorpropiedad se llamaría integral de curva.
Sea C una curva plana suave; es decir, sea C una curva dada en una forma paramétrica mediante
X= X(t), y= y(t), a ≤ t ≤ b
Donde X´ y Y´ son continuas y no ambas nulas sobre [a, b]. Supóngase que C está orientada positivamente. Entonces, C tendrá un punto inicial A= (x(a), y(a)) y un punto terminal B= (x (b), y(b)).Considérese la partición P del intervalo paramétrico [a, b] obtenida al insertar los puntos
a = t0 < t1 < t2 0

Si la densidad del alambre en un punto es proporcional a su distancia del eje de las x, encuentre la masa del alambre.
Solución Nuestro viejo lema rebane, aproxime e integre es todavía adecuado. La masa de una pequeña pieza de cable de longitud Δs tiene un valoraproximado (x, y) Δs, donde (x, y) = ky es la densidad en el punto (x, y) y k es constante. Entonces, la masa m del cable completo es
m= = dt
= ka²
=[-ka² cos t = 2ka²

El momento del cable con respecto al eje de las x está dado por
Mᵪ = =
=
= sen 2t= ka³/2
Entonces,
y== = ¼
Por simetría, x = 0, de modo que el centro de masa se encuentra en el punto (0,πa/4)
Todo lo que hemoshecho se extiende con facilidad a una curva suave C en el espacio tridimensional. En particular, si las ecuaciones paramétricas de C son.
X = x(t), y =y (t), z = z(t), a ≤ t ≤ b


Entonces

= dt
Ejemplo3 encuentre la masa de un alambre de densidad (x, y, z) = kz si el alambre tiene la forma de una hélice C cuyos parámetros son
X =3 cos t, y = 3 sent, z = 4 t, 0 ≤ t ≤ π


Solución
m = = k dt
= 20k = [20k =10kπ²
Las unidades de m dependen de la longitud y la densidad.
Trabajo Supóngase que la fuerza que actúa sobre un punto del espacio está dado por el campo vectorial
F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k
Donde M, N y P son continúas. Queremos encontrar el trabajo W que realiza F al mover una partícula alo largo de una curva suave orientada C. sea r = xi + yj + zk el vector de posición de un punto Q(x, y, z) de la curva. Si T es el vector tangente unitario dr / ds en Q, entonces F. T es el componente tangencial de F en Q. el trabajo realizado por F al mover la partícula desde Q una distancia corta Δs a lo largo de la curva tiene un valor aproximado modo de F. T Δs, y en consecuencia el trabajorealizado al mover la partícula desde A B a lo largo de C se define como . En la sección 13.5 aprendimos que T= (dr/dt) (dt/ds), por lo que tenemos las siguientes alternativas como formulas del trabajo.
W=


Para interpretar la última expresión, imagine que F. dr representa el trabajo realizado por F al mover partícula a lo largo del vector tangente infinitesimal dr, formulación preferida porlos físicos y muchos matemáticos en las aplicaciones.
Todavía hay otra aplicación del trabajo que a menudo es útil e los cálculos. Si convenimos en escribir dr = dxi + dyj + dzk, entonces
F. dr = (Mi + Nj + Pk).(dxi + dyj + dzk) = M dx + N dy + P dz
Y
W=
Las integrales , y son una clase especial de integrales de línea. Se define tal como fue definida al principio de esta sección, salvo qΔs, es sustituido por Δx, Δy, y Δz respectivamente.

Ejemplo 4 encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerzas, sometido a la ley del inverso del cuadrado.
F(x, y, z) ==Mi + Nj + Pk
Para mover una partícula a lo largo de la curva C desde (0, 3, 0) a (4, 3, 0).
Solución
A lo largo de C, y= 3 y z= 0, de modo que dy= dz= 0. Usando x como parámetro, obtenemos
W= = -c
= -c dx = [=...