integrales de linea

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INTEGRALES DE LÍNEA

10.1

Introducción

En el volumen 1 estudiamos la integral S~ f(x) dx, primero para funciones
reales definidas y acotadas en intervalos finitos, y luego para funciones no acotadas e intervalos infinitos. Posteriormente el concepto se extendió a funciones
vectoriales y, en el capítulo 7 del volumen 11, a funciones matriciales.
Este capítulo extiende la noción deintegral en otra dirección. El intervalo
[a, b] se reemplaza por una curva en el espacio n-dimensional definida por una
función vectorial ll, y el integrando es un campo vectorial f definido y acotado
en esa curva. La integral que resulta se llama integral de línea, integral curvilínea o integral de contorno, y se emplea para ella la notación S f' da o algún otro
símbolo parecido. El punto seusa precisamente para sugerir el producto interior
de dos vectores. La curva se llama camino de integración.
Las integrales de línea son de capital importancia en Matemática pura y
aplicada. Se presentan al estudiar el trabajo, la energía potencial, el flujo de
calor, el cambio en la entropía, la circulación de un fluido, y otras cuestiones
físicas en las que se estudia el comportamiento de uncampo escalar o vectorial
a 10 largo de una curva.
10.2

Caminos e integrales de línea

Antes de definir las integrales de línea recordemos la definición de curva
dada en el volumen I. Sea II una función vectorial definida en un intervalo cerrado
finito J = [a, b]. Cuando t va tomando los valores de J, la función II (t) describe
un conjunto de puntos en el n-espacio llamado gráfica de lafunción. Si II es
continua en J la gráfica se llama: curva; con mayor precisión, es la curva descrita
por ll.
En nuestro estudio de las curvas en el volumen 1 vimos que funciones dis393

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tintas pueden onginar el trazado de la misma curva en formas distintas, por ejemplo, en direcciones distintas o con velocidades distintas. Al estudiar las integrales
de líneanos interesa no sólo el conjunto de puntos de una curva sino la manera
como tal curva ha sido originada, esto es, la función ex. Una tal función se llamará camino continuo.
Sea! = [a, b] un intervalo cerrado finito de R1• Una función ex:! ~ R" continua en ! se llama camino continuo en el n-espacio. El camino
se llama regular si existe la derivada ex' y es continua en el intervalo abierto (a,b).
El camino se llama regular a trozos si el intervalo [a, b] puede descomponerse en
un número finito de sub intervalos en cada uno de los cuales el camino es regular.
DEFINICIÓN.

La figura 10.1 muestra la gráfica de un camino regular a trozos. En este
ejemplo la curva tiene recta tangente en todos los puntos excepto en un número
finito de ellos. Esos puntos excepcionales subdividen lacurva en arcos, a lo largo
de cada uno de los cuales la recta tangente va cambiando de posición con continuidad.

FIGURA

10.1

Gráfica de un camino regular a trozos en el plano.

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LíNEA.
Sea ex un camino regular a trozos en
el n-espacio definido en un intervalo [a, b], y sea f un campo vectorial dejinido
y acotado sobre la gráfica de ex. La integral de línea de fa lo largo de ex se representa con el símbolo f f' da y se define por

f I: da = t f[ex(t)]

(10.1)

. ex'(t) dt,

siempre que la integral del segundo miembro exista, bien como integral propia
o integral impropia.
Observación: En muchos ejemplos que en la práctica se presentan el producto interiorf[«(t)]·
«'(t)está
acotado en [a, b] y es continuo excepto, acaso,
en un número finito depuntos, en cuyo caso la integral existe como integral propia.

10.3 Otras notaciones para las integrales de línea
Si

e representa

la gráfica de ex, la integral de línea f I :da también se repre-

Otras notaciones para las integrales de línea

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senta por S c I: da. y se llama integral de / a lo largo de C.
Si a = a.(a) y b = a.(h) representan los puntos extremos de e, a...