Integrales De Linea

GUIA DE AUTOAPRENDIZAJE
INTEGRALES DE LINEA
INTEGRALES DE LÍNEA:

1.1. Defina integral de línea de una función f a lo largo de una curva C.

Sea C una curva suave dada por x=xt, y=yt, a≤t≤b, si f está definida Ci se define Integral de línea de f a lo largo de C a
Cfx,yds=limn→∞i=1nfxi*,yi*dSi
Si el límite existe.
1.2. ¿Qué fórmula permite evaluar una integral de línea? ¿Bajo quécondiciones?

Cfx,ydS=abfxt,yt∂x∂t2+∂y∂t2 dt
Esta fórmula permite evaluar una integral de línea bajo la condición de que f sea continua.
1.3. Para un caso especial de curva C, la integral de línea se reduce a una integral simple ordinaria como las estudiadas en Matemática II. Describa en forma paramétrica esta curva C.

En el caso especial en que C es el segmento de recta que une a (a, 0) con(b, 0), al utilizar a x como
parámetro podemos escribir las ecuaciones paramétrica de C como

x=x y=0 a≤x≤b Cfx,ydS=abfx,0dx
Integral ordinaria de una variable.
1.4. Indique si el siguiente enunciado es verdadero o falso y justifique:

“La integral de línea de una función fx,y≥0 puede interpretarse como un área”.

Si fx,y≥0, Cfx,ydS= representa el área de un
lado de unasuperficie, cuya base es C y cuya altura
encima del punto (x, y) es f (x, y)

1.5. Evalúe C2+x2ydS, donde C es la mitad superior del circulo unitario x2+y2=1
Solución:

Primero debemos parametrizar las ecuaciones que representan a C. El circulo puede ser parametrizado por medio de las siguientes ecuaciones
x=cost y=sint 0≤t≤2π
C2+x2ydS=0π(2+cos2tsint)dxdt2+dydt2 dt=0π(2+cos2tsint)sin2t+cos2t dt
=0π(2+cos2tsint)dt=2t-cos3t30π
=2π+23

1.6. Defina integral de línea de una función f(x,y) sobre una curva suave a trozos

Si C es una curva suave a trozos, la integral a lo largo de C es
Cfx,ydS=C1fx,ydS+C2fx,ydS+…+Cnfx,ydS
1.7. Evalúe la integral Cy2dx+xdy donde C está formada por el arco C1 de la parábola y=x2 de (0,0) a (1,1) seguido por el segmento de recta vertical C2 (1,1)a (2,2)

Solución
La curva está en función de x, por lo que parametrizamos con x y la ecuación C1 queda como:
x=x y=x2 0≤x≤1
Entonces
C2x dS=012xdxdt2+dydt2 dx=012x1+4x2dx=14.231+423201=55-16

Para C2 elegiremos y como parámetro, entonces
x=1 y=y 1≤y≤2

C2x dS=122(1)dxdt2+dydt2 dy=122dy=2
Entonces
C2x dS=C12x dS+C22x dS=55-16+2
1.8. Sea ρ(x, y) la densidad de masa de unalambre en el plano, hallar la expresión para calcular su masa.
m=limn→∞i=1nf(xi*,yi*) dSi si Cfx,ydS

1.9. ¿Qué entiende por integrales de línea, a lo largo de C1 con respecto a las variables x e y? ¿Cómo se indican? ¿Cómo se evalúan?

Las integrales de línea de f a lo largo de C con respecto a x e y son las integrales con respecto a esos elementos respectivamenteCfx,ydx=limn→∞i=1nf(xi*,yi*)∆x
Cfx,ydy=limn→∞i=1nfxi*,yi*∆y
x=xt y=yt dx=x‘tdt dy=y‘(t)
Se evalúan como

Cf(x,y)dx=abf(xt,ytx´(t)dt
Cf(x,y)dy=abf(xt,yty´(t)dt
1.10. Evalúe Cy2dx+xdy donde
(a) C=C1 es el segmento de recta de (-5,-3) a (0,2)
(b) C=C2 es el arco de parábola de x=4-y2 de (-5,-3) a (0,2)

Solución
La representación paramétrica queda como
x=5t-5 y=5t-3 0≤t≤1

r0=-5,-3r1=0,2 dx=5 dt dy=5 dt

Cy2dx+xdy =015t-325dt+5t-5tscomoa acion vcxjkzvalúan?.recta de ayC=C2 es el arco de loarabika de x(5dt)=50125t2-25t+4dt=525t33-25t22+4t01=56

Tomaremos a y como parámetro en la curva C2
x=4-y2 y=y -3≤y≤2 dx=-2y dy

Cy2dx+xdy =-32y2-2ydy+4-y2dy =-32-2y3-2y2+4dy=-y42-2y33+4y-32=4056

1.11. Bajo qué condiciones la integral de línea nodepende de la parametrización de la curva C.

Una integral de línea no depende de la parametrización de la curva C cuando es independiente de la trayectoria.

1.12. La parametrización de una curva C induce una orientación: positiva (indicada C), la correspondiente a t creciente y negativa la opuesta (indicada -C). Complete entonces las siguientes igualdades, teniendo en cuenta que se...