Integrales de superficie de un campo escalar
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Publicado: 8 de septiembre de 2015
Integrales de superficie de un campo escalar
Sea una función continua definida en la superficie cuya parametrización está dada por . Si la superficie tiene como dominio la región en el plano uv,entonces establecemos la equivalencia:
en donde son las derivadas parciales de la función vectorial que define a S, respecto a las variables u y v.1
La razón de esta definición proviene del hechode que una integral doble "clásica" de una función f(x,y)puede definirse subdividiendo la región de integración en pequeños rectángulos cuyos lados fueran de medidas dx y dy y efectuando la sumatoriade los productos f(x,y)·dx·dy en que el punto (x,y) se halla en el interior del rectángulo correspondiente. Como puede observarse, dx·dy es el área de cada uno de esos rectángulos, por lo quehabitualmente este producto se denota por dA.
Al extender este proceso a una superficie tridimensional, ésta se divide en pequeños sectores de área dS en los cuales se escoge un punto (x,y,z) y se evalúa lasumatoria de los productos f(x,y,z)·dS. El área de estos sectores es aproximadamente igual al área del paraleló gramo formado por sus vectores tangentes de longitud infinitesimal, y, por la definiciónde producto cruz, el vector es un vector perpendicular a ambos vectores cuya norma es igual al área de dicho paraleló gramo, por lo tanto, . Al valor dS lo llamamos elemento escalar de áreaEjemplo. Se pide evaluar la integral
Donde S es le superficie lateral del cono x2 + y2 = z2 que yace entre los planos z = 0 y z = 1. Como lo indica la Figura 1.
Proyectando la superficie sobre elplano XY, y considerando que la superficie está entregada en su forma implícita, esto es x2 + y2 - z2 = 0, esto es
F( x, y, z ) = x2 + y2 - z2 = 0
entonces aplicando la fórmula
tenemos que
De modoque debemos integrar
Figura 1
siendo R la región del interior de la circunferencia x2 + y2 = 1. Esta integral la podemos desarrollar utilizando el cambio de variable a coordenadas polares, esto...
Sea una función continua definida en la superficie cuya parametrización está dada por . Si la superficie tiene como dominio la región en el plano uv,entonces establecemos la equivalencia:
en donde son las derivadas parciales de la función vectorial que define a S, respecto a las variables u y v.1
La razón de esta definición proviene del hechode que una integral doble "clásica" de una función f(x,y)puede definirse subdividiendo la región de integración en pequeños rectángulos cuyos lados fueran de medidas dx y dy y efectuando la sumatoriade los productos f(x,y)·dx·dy en que el punto (x,y) se halla en el interior del rectángulo correspondiente. Como puede observarse, dx·dy es el área de cada uno de esos rectángulos, por lo quehabitualmente este producto se denota por dA.
Al extender este proceso a una superficie tridimensional, ésta se divide en pequeños sectores de área dS en los cuales se escoge un punto (x,y,z) y se evalúa lasumatoria de los productos f(x,y,z)·dS. El área de estos sectores es aproximadamente igual al área del paraleló gramo formado por sus vectores tangentes de longitud infinitesimal, y, por la definiciónde producto cruz, el vector es un vector perpendicular a ambos vectores cuya norma es igual al área de dicho paraleló gramo, por lo tanto, . Al valor dS lo llamamos elemento escalar de áreaEjemplo. Se pide evaluar la integral
Donde S es le superficie lateral del cono x2 + y2 = z2 que yace entre los planos z = 0 y z = 1. Como lo indica la Figura 1.
Proyectando la superficie sobre elplano XY, y considerando que la superficie está entregada en su forma implícita, esto es x2 + y2 - z2 = 0, esto es
F( x, y, z ) = x2 + y2 - z2 = 0
entonces aplicando la fórmula
tenemos que
De modoque debemos integrar
Figura 1
siendo R la región del interior de la circunferencia x2 + y2 = 1. Esta integral la podemos desarrollar utilizando el cambio de variable a coordenadas polares, esto...
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