Integrales definidas

Capítulo 3
Integral definida

3

Módulo 12 Notación sigma (∑) y partición de un intervalo Módulo 13 Integral según Riemann
Juicio final, detalle del panel derecho: el ángel hace sonar una trompeta y el condenado cae al infierno. Obra del pintor flamenco Hans Menling (c. 1435-1494). Museo Promorskie, Gdansk (Polonia). Scala/Art Resource, N.Y.

Módulo 14 Propiedades de la integral definidaMódulo 15 Teorema del valor medio (TVM) para integrales Módulo 16 Los teoremas fundamentales del cálculo Módulo 17 Integrales impropias Ejercicios Módulos 12 al 17

En geometría elemental se deducen fórmulas para las áreas de muchas figuras planas, pero escasamente se da una definición precisa de lo que significa área. En muchas ocasiones se define el área de una región como el número decuadrados de lado unidad que caben en la región. Sin embargo, dicha definición sólo es aceptable para algunas regiones simples del plano. Así por ejemplo, el círculo de radio 1 tiene como área el número irracional π . Pero, ¿qué significa « π cuadrados» de área? En este capítulo iniciamos el estudio intentando definir el área de algunas regiones particulares R del plano, es decir, aquellas regioneslimitadas superiormente por la gráfica de una curva y = f ( x) ≥ 0 en [a, b] , y lateralmente por las rectas verticales x = a y x = b. El número que se asigna como área de R recibe el nombre de integral definida de f sobre [ a, b] , aunque también la integral se definirá para funciones f para las cuales f ( x) ≤ 0 en [ a, b] . Se conocen fundamentalmente tres formas de acercarse a la definición deintegral: a través de funciones escalonadas, a través de las sumas superiores e inferiores

Capítulo 3: Integral definida (sumas de Darboux) y a través de las llamadas sumas de Riemann. En este texto lo hacemos siguiendo la tercera forma, por ser la manera clásica en los textos de cálculo y la que menos exigencias tiene del análisis real para su comprensión.

116

Notación sigma ( Σ ) ypartición de un intervalo
Contenidos del módulo
12.1 La notación sigma (Σ) y propiedades de la sumatoria 12.2 Partición de un intervalo cerrado

12

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss, matemático alemán conocido por sus muy diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo, nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick y falleció el 23 defebrero de 1855 en Gotinga. Cuando Gauss tenía diez años de edad su maestro solicitó a la clase que encontrara la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien. El maestro, pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando su alumno levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra y el maestro sedio cuenta al instante de que el niño era una promesa en las matemáticas. Hijo de un humilde albañil, Gauss dio señales de ser un genio antes de que cumpliera los tres años. A esa edad aprendió a leer y hacer cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Ingresó a la escuela primaria antes de que cumpliera lossiete años; cuando tenía doce criticó los fundamentos de la geometría euclidiana; a los trece le interesaban las posibilidades de desarrollar la geometría no euclidiana; y a los quince entendía la convergencia y probó el binomio de Newton. El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atención del duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el muchacho tenía catorce años, costear tanto su educaciónsecundaria como universitaria. Gauss, a quien también le interesaban los clásicos y los idiomas, pensaba que haría de la filología la obra de su vida, pero las matemáticas resultaron ser una atracción irresistible. Cuando estudiaba en Gotinga, descubrió que podría construirse un polígono regular de diecisiete lados usando sólo la regla y el compás. Enseñó la prueba a su profesor, quien se mostró...