Integrales definidas

Cálculo de trabajo con ayuda de la integral definida
Vamos a estudiar la aplicación de la integral definida al concepto de ``trabajo''.
Si una fuerza constante actúa sobre un objetodesplazándolo una distancia , a lo largo de una línea recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado se expresa como el producto de la fuerza por el caminorecorrido.
Es decir: .
Cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o estira un resorte, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple.
Consideremos una partícula que sedesplaza sobre el eje , desde el punto al punto por medio de una fuerza .
Dividamos el segmento en partes arbitrarias de longitudes , y tomemos en cada subintervalo un punto arbitrario comose muestra a continuación.



Cuando la partícula se mueve de a , el trabajo realizado es aproximadamente igual al producto .
Luego, la suma:

nos dará la expresión aproximada deltrabajo de la fuerza en todo el segmento .
La suma


representa una suma integral, por lo que si

existe, entonces este expresa el trabajo realizado por la fuerza al mover unapartícula de a , a lo largo del eje .
Se tiene entonces que

siendo la fuerza aplicada a la partícula cuando ésta se encuentra en el punto cuya coordenada es .
Si la unidad de fuerza es elkilogramo, y si la unidad de distancia es el metro, entonces la unidad de trabajo es el kilográmetro. También pueden utilizarse como unidades de trabajo la libra-pie y el gramo-centímetro.
El alargamientoo la compresión de un resorte helicoidal, nos proporciona un ejemplo del trabajo realizado por una fuerza variable. La ley de Hooke afirma que la fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal,es proporcional a la elongación del resorte. Así, la fuerza necesaria para producir una elongación de unidades, está dada por la expresión , donde es la constante de proporcionalidad, que...