Integrales dobles con cambio de variables

II.- INTRODUCCIÓN
De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por lafunción y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hiper-volúmenes, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hiper-volúmenesde dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral,o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:
De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puedeinterpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hiper-volúmenes, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenessuperiores, el resultado geométrico corresponde a hiper-volúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representasimbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

III.- OBJETIVOS
Reactivar algunos conceptos y teoremas relacionados con los extremos condicionados de funciones de varias variables.
Aplicar las diversas leyes utilizadas con la regla de la cadena para funciones de varias variables en extremoscondicionados en R2, R3… Rn.
Resolución de integrales múltiples usando los criterios de integración de integrales iteradas, dobles y triples para hallar áreas y volúmenes de las graficas en R2 y R3.
Realizar ejercicios de las integrales en R2 y R3 aplicadas a problemas cotidianos de nuestra carrera ingenieril.

IV.- FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA Y/O FUNDAMENTO PRÁCTICO, DISCUCIÓN DE RESULTADOSMÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Muchos problemas de optimización tienen restricciones o ligaduras en los valores que pueden usarse para lograr la solución óptima. Tales ligaduras tienden a complicar los problemas de optimización ya que la solución óptima puede ocurrir fácilmente en un punto frontera del dominio.
Para resolver tales problemas se utiliza una técnica ingeniosa que seconoce como METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE en honor al Matemático Francés Joseph Louis LAGRANGE (1736-1813) quien introdujo el método en su famoso artículo de mecánica cuando tenía diecinueve años.
Este método implica la introducción de nuevos parámetros llamados multiplicadores de Lagrange, mediante el cual se logra mayor sencillez y simetría en los cálculos y se elimina la necesidad...