Integrales dobles en coordenadas rectangulares y polares

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENICERIAS



SEMINARIO DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE METODOS MATEMATICOS II
PROYECTO 3, PROBLEMA 7.

PROYECTO 3
PROBLEMA 7
Tema: Integrales dobles en coordenadas rectangulares y polares

MARCO TEÓRICO.
Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, porejemplo,  ó .
De la misma manera en que la integral de una función positiva  de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva  de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xyen ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función  definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si  el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera másusual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Esimportante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación  y una región  en el espaciodefinido por los ejes de las variables independientes de la función  (si  es una región cerrada y acotada y  está definida en ésta). Por ejemplo, si , el volumen situado entre la superficie definida por  y una región  en el plano  es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó,  está definida en .
 puede dividirse en una partición interior  formada por  subregiones rectangulares sinsolapamiento que estén completamente contenidas en . La norma  de esta partición está dada por la diagonal más larga en las  subregiones.
Si se toma un punto  que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones  para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por  y la subregión i. Esteespacio tendrá una magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación  y la regiónmediante la suma de Riemann de las magnitudes de los  espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximación mejora a medida que el número  de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exactatomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo  existe un  tal que

para toda partición  de la región(que satisfaga ), y para todas las elecciones posibles de  en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:
Siestádefinida en una región cerrada y acotadadel definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral desobreestá dada por:

siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice quees integrable con respecto a T.



Integrales múltiples e Integrales iteradas.
Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias...