INTEGRALES DOBLES Y SUS APLICACIONES

INTEGRALES DOBLES Y SUS APLICACIONES
1.

Calcular las siguientes integrales dobles:
a)

 sen

2

x sen 2 y dxdy , Q   0,     0,  

Rpta:

  x

 6 x 2 y  y 3  dxdy , Q   0,1   0,1

Rpta: 3/2

Q

b)

3

1
4

2

Q

 2x  y  3

c)

3

dxdy , Q   2,3   2,3

Rpta: 1/80

Q

 x cos(x  y )dxdy ,

d)

Q  1, 2  1, 2

Rpta: 3-3cos(1)

Q

2.

Intercambiar el ordende integración de las siguientes integrales.
a)

3.

 

a2  x2

2 ax  x2

0

f ( x, y )dydx

b)



y2 / 2

2


 y 1 f ( x, y)dxdy
2

2

Intercambiar el orden de integración de las siguientes integrales.
a)

4.

a

a

1

 0 x

x
2

b)

f ( x, y ) dydx

 

4

3

3

9 x2

f ( x, y )dydx

0

Calcular las siguientes integrales dobles
a)

 2 xy dxdy

, D es la región limitada por x  y 2 , x 2  y 2  2 y , x  0 .

D

b)

 x

y dxdy , D es la región acotada por las curvas x  4  y 2 , y  x  2

2

D

5.- Expresar en una sola integral iterada, la suma de las integrales.
a)



R

2
2

0

a

b)



x
0

f ( x , y ) dydx 

a

 a
0



a2  y2



f ( x, y )dxdy 

R
R

2
2



R2  x2
0

a

a

 a

a 2  y2

0

f ( x , y ) dydx
f ( x, y )dxdy

6.

Calcular las siguientesintegrales cambiando el orden de integración.

7.

1
a rc c o s x
2
2 x 2
y ex
a)   2
b)  
e sen y d yd x
dxdy
xy dydx c)  
0 y
0
0
1
0
x
Calcular las siguientes integrales cambiando el orden de integración.

a)
8.

1

y

 

4

2

0

2y

x2

b)

e dxdy

Calcular la integral

1


0

0

2 x2
x 3

x ( y  2) dydx
2

c)

 

x2
2

2

0

0

x
1  x2  y 2

dydx

 ( x  y ) dxdy , dondeD es la cuarta parte situada en el primer
D

cuadrante del anillo circular limitado por los círculos x 2  y 2  1 , x 2  y 2  4

9. Calcular



x 2  y 2  9 dxdy , donde D es la región anular entre las circunferencias

D

x 2  y 2  9 y x 2  y 2  25
10. Calcular el área del la región D (bucle) acotada por la gráfica de la curva
x 3  y 3  axy  0
11. Calcular

x

 y

yx

2

2
dxdysobre la región limitada por y  x , y  x en el

primer cuadrante.
12. Calcular

y  x
x  y

 e

dxdy , donde D es el triángulo determinado por la recta

D

x  y  3  0 y los ejes coordenados.

13. Calcular el área de la región plana acotada por; x 2  y 2  4 x  0 , x 2  y 2  2 x  0 ,
Rpta:  3  3  u 2
y  x  0, y  0.
 4

14. Calcular



2

x y  y 2 dxdy , donde D es eltrapecio de vértices A (1,1) ), B (5,1) ,

D

C (10, 2) y D (2, 2) .

15. Calcular

 x

3

y3

D

1  x 4  y 4 dxdy donde D   (x, y)  2 / x 4  y 4 1, x  0, y  0



.
16. Calcular

 ( x

2

+ 5y2 ) dxdy , donde D es la región plana limitada por y  0 ,

D

Rpta: 180 

4  x 2  y 2  16 .

17. Calcular la integral

 (4 x  y) e

2

16 x  y

2

dxdy , donde D es la región limitada porel

D

cuadrilátero de vértices A (0, 0) ), B (1/2 , 2 ) , C (1, 0) y D (1/ 2, 2 ) .
18. Hallar el área de la región D acotada por gráfica de las curvas
( x 2  y 2 ) 2  2a 2 (x 2  y 2 ) y x 2  y 2  2ax .
19.- Determinar el área de la región acotada por la curva. ( x 2  y 2 ) 3  x 4  y 4
20.- Calcular el área de la región D en el cuadrante positivo del plano XY acotada por las
curvas: x 2 2 y 2  1, x 2  2 y 2  4, y  2 x, y  5 x
21.- Encontrar el área de la región limitada por las curvas: xy  2 , xy = 4 , y  x ,

y  3 x, x  0, y  0
2
2
22.- Determinar el área de la región plana limitada superiormente por x  y  4
2
e inferiormente por y  x

23. Hallar el volumen del tetraedro acotado por los planos x  0 , y = 0 , z  0 y
y  x  z 1

24. Usando integral dobledeterminar el volumen del sólido limitado por las rectas
x  0 , x = 2 , y  0, y  4 , en el plano XY sus aristas son paralelas el eje Z y la tapa
es el plano 2 z  10  x  y
25.- Usando integral doble calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies
z  x 2  y 2 , y  x 2 , y  1, z  0

INTEGRALES TRIPLES Y SUS APLICACIONES
1. Calcular las siguientes integrales por los métodos mas...