Integrales Dobles Y Triples

Tema 4 Integrales m´ltiples u
4.1 Introducci´n. o

En el primer curso de Fundamentos se plante´ el problema de hallar el ´rea comprendida o a entre la gr´fica de una funci´n positiva y = f (x) , el eje OX y las rectas x = a, x = b. a o b Dicha ´rea se representaba como a f (x)dx. a

1

´ TEMA 4. INTEGRALES MULTIPLES

2

Vimos que este problema estaba relacionado con el c´lculo de unaprimitiva de f (x) . a El Teorema de Barrow nos asegura que si F (x) es tal que F (x) = f (x) entonces b A = a f (x)dx = F (b) − F (a). Nuestro problema es el c´lculo del volumen de un prisma de base rectangular a R = [a, b] × [c, d] y limitado superiormente por la gr´fica de una funci´n z = f (x, y) a o positiva. A este volumen lo denotaremos por
R

f (x, y)dxdy.

Difiere del problema anterioren que no se resuelve encontrando una primitiva de f (x, y) (no tiene sentido), sino por el c´lculo de vol´menes por secciones. a u El volumen vendr´ dado por la suma infinita de las ´reas de las secciones que se a a obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al plano XZ, o tambi´n sumando las e a ´reas de las infinitas secciones que se obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos alplano Y Z.

´ TEMA 4. INTEGRALES MULTIPLES

3

d

b

V =
R

f (x, y)dxdy =
c d c

A(y)dy =
a

A(x)dx

donde A(y) = fija. As´ V = ı
d c

b a

f (x, y)dx, A(x) =
b a

f (x, y)dy
d c

considerando en cada caso la x o la y

(

f (x, y)dx)dy =

b a

(

f (x, y)dy)dx .

El problema se convierte en el c´lculo de una integral reiterada que ya sabemos resolver. a4.2

Integral doble sobre un rect´ngulo. a

Definamos ahora el concepto de integral doble de una funci´n z = f (x, y) no necesariao mente positiva sobre un rect´ngulo R = [a, b] × [c, d]. a Dividimos el intervalo [a, b] en n partes iguales, eligiendo para ello n + 1 puntos a = b−a x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b siendo xi+1 − xi = = ∆x. n Elegimos, de forma an´loga, m + 1 puntos del intervalo[c, d] a d−c c = y0 < y1 < y2 < · · · < ym = d con yi+1 − yi = = ∆y. m As´ obtenemos n · m rect´ngulos [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1 ] = Rij de ´rea ∆A = ∆x · ∆y. ı a a ∗ Sea cij = (x∗ , yj ) ∈ Rij ⇒ f (cij ) · ∆A es el volumen del peque˜o prisma del dibujo. n i

´ TEMA 4. INTEGRALES MULTIPLES

4

Llamemos Snm =

n−1 m−1

f (cij )∆x∆y
i=0 j=0

Definici´n 4.1 (Integral doble) o Si existen,m→∞

lim Snm y no depende de la elecci´n de los valores cij , entonces se dice o

que f es integrable sobre R y al valor de dicho l´mite se le llama integral doble de f(x,y) ı sobre R.
n−1 m−1 i=0 j=0 R

f (x, y)dxdy = n,m→∞ lim

f (cij )∆x∆y

Si f (x, y) es una funci´n positiva, o R f (x, y)dxdy representa el volumen del prisma rectangular de base R y limitado superiormente por lagr´fica de f. a Si f (x, y) es negativo, representa un volumen negativo. Teorema 4.1 Cualquier funci´n continua sobre un rect´ngulo es integrable. o a

´ TEMA 4. INTEGRALES MULTIPLES

5

4.2.1

Propiedades de la integral doble.
R [af (x, y)

I Linealidad.

+ bg(x, y)]dxdy = a

R

f (x, y)dxdy + b

R

g(x, y)dxdy.

II Monoton´ Si f (x, y) ≥ g(x, y) ∀ (x, y) ∈ R , entonces : ıa. f(x, y)dxdy ≥
R R

g(x, y)dxdy

III Aditividad. Si D = R1 ∪ R2 es uni´n de dos rect´ngulos disjuntos: o a
D

f (x, y)dxdy =

R1

f (x, y)dxdy +

R2

f (x, y)dxdy

IV Teorema de Fubini. Si z = f (x, y) es continua sobre R = [a, b] × [c, d], entonces:
b d d b

f (x, y)dxdy =
R a

(
c

f (x, y)dy)dx =
c

(
a

f (x, y)dx)dy

4.3

Integral doble sobre regiones m´sgenerales. a

Vamos a definir la integral doble de funciones sobre los siguientes tipos de regiones: Regiones del tipo I D = {(x, y) ∈ IR2 / a ≤ x ≤ b, f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x)}.

´ TEMA 4. INTEGRALES MULTIPLES

6

Regiones del tipo II D = {(x, y) ∈ IR2 / c ≤ y ≤ d, g1 (y) ≤ x ≤ g2 (y)}.

Regiones del tipo III giones de tipo I o de tipo II.

Son las que se pueden expresar indistintamente...