integrales dobles y triples

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales iteradas
b

g2 (x)

d

h2 (y )

f (x, y) dydx ó
a

g1 (x)

f (x, y) dxdy
c

h1 (y )

Los límites interiores de integración pueden ser variables
respecto a la variable exterior de integración, pero los
límites exteriores de integración han de ser constantes con
respecto a las dos variables deintegración.
Una vez realizada la primera integración, se llega a una
integral definida ordinaria y al integrar por segunda vez se
obtiene un número real.
Los límites de integración determinan la región de
integración.

Integrales dobles

El concepto de integral doble
Consideramos una función continua f tal que
f (x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ dom(f )
Deseamos hallar el volumen de la región sólidacomprendida entre la superficie z = f (x, y) y el plano XY .
Suponemos que la función f está definida sobre un
rectángulo cerrado
R = [a, b] × [c, d ] = (x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d
Tomamos una partición P de R en subrectángulos que
obtenemos realizando el producto cartesiano de una
partición de [a, b] por una de [c, d ]:
a = x0 < x1 < · · · < xi−1 < xi < · · · < xm = b
c = y0 < y1 < · · ·
Integrales dobles

El concepto de integral doble (II)
P = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ], i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n
Denotamos por ∆xi = xi − xi−1 , ∆yj = yj − yj−1
Área de cada subrectángulo Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ]:
Aij = ∆xi ∆yj
Llamamos mij = mín f (x, y), (x, y) ∈ Rij
Mij = máx f (x, y), (x, y) ∈ Rij
Consideramos los prismas que tienen porbase un
rectángulo de la partición y por altura o el mínimo o el
máximo de f sobre ese rectángulo:
V =área de la base · altura

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El concepto de integral doble (III)
DEF. Se llama suma inferior de Riemann de f en P a
L(f , P) = s(f , P) =

mij Aij
1≤i≤m,1≤j≤n

DEF. Se llama suma superior de Riemann de f en P a
U(f , P) = S(f , P) =

Mij Aij
1≤i≤m,1≤j≤n

Si seconsideran particiones más finas la aproximaciones
mejoran. Se cumple:
L(f , P) ≤ U(f , Q) siendo P, Q dos particiones de R.
Si se refina la partición, las sumas inferior y superior se
aproximan.

Integrales dobles

Definición de integral doble
DEF. Se llama integral inferior de Riemann de f en R a
f = sup {L(f , P), P ∈ P(R)}
R

DEF. Se llama integral superior de Riemann de f en R af = ínf {U(f , P), P ∈ P(R)}
R

DEF. Diremos que f es integrable sobre R si coinciden sus
integrales superior e inferior.
A ese valor lo llamamos integral de f y lo representamos por:
f =
R

f dx dy
R

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Propiedades de integral doble
Teorema. Sea R un rectángulo de R2 y f : R → R una función.
Si f es continua en R salvo, a lo sumo, en los puntos que
forman unaunión finita de líneas, f es integrable.
Sea A una región plana acotada y f : A → R. Por ser A
acotada, existe un rectángulo R que la encierra. Se puede
f (x, y) si (x, y) ∈ A
construir la función: F (x, y) =
0
si (x, y) ∈ R − A
Si F es integrable sobre R, entonces f es integrable sobre A.
f =
a

F
R

Teorema. Sea f : A ⊂ R2 → R acotada y A una región acotada.
Entonces, si f escontinua en A, f es integrable en A.

Integrales dobles

Propiedades de integral doble (II)
Sean f , g : A ⊂ R2 → R dos funciones continuas en una región,
A, cerrada y acotada y c una constante.
cf = c

1

A
2

(f ± g) =

f,
A

A

f±
A

g (Linealidad)
A

Si f (x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ A, entonces

f ≥ 0 (Positividad)
A

3

4

Si f (x, y) ≥ g(x, y)

(Monotonía)
Sean A1 ,A2 ⊂ R2 tales que A = A1
f =
A

5

∀(x, y) ∈ A, entonces

f+
A1

f ≥
A

A2 , A1

f
A2

Si m ≤ f (x, y) ≤ M
m · Área(A) ≤

∀(x, y) ∈ A, entonces

f ≤ M · Área(A) (Acotación)
A

g
A

A2 = ∅,

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Cálculo de integrales dobles
DEF. Se dice que A ⊂ R2 es una región regular en la dirección
del eje Y si
A = (x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2...

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