Integrales Dobles

EJERCICIOS DE INTEGRALES DOBLES

Pregunta 1 Calcular la siguiente integral doble

∫∫ (x − 2y )dydx
S

Donde S es la región limitada por las rectas y = −1 , y = 1 , x = 3 y el eje Y. Resolución

Graficamos la región de integración

x= 3 1 y= 1

0

3

5

-1 y = -1

De esta región se desprenden los siguientes intervalos:
0≤x≤3

−1 ≤ y ≤ 1 Lo que nos permite reescribir:
I=∫∫ (x − 2y )dydx = ∫ ∫ (x − 2y )dy dx
S 0 −1 1

3 1

… (α)

Primero se resuelve la integral interna, la que llamaremos I1
I1 = ( x − 2y )dy
−1

∫

I1 = (xy − y 2 ) −1

1

I1 = x(1) − (1)2 − x(−1) − (−1)2
I1 = 2 x

[

] [

]

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En (α):

I = (2x )dx
0

∫

3

I = x2

3 0

I = (3)2 − (0)2
I=9

[ ] [ ]Pregunta 2

Calcular la siguiente integral doble

∫∫ 3x dydx
S

Donde S es la región limitada por las rectas y = x + 1 , y = 2x − 1 y el eje Y.
Resolución

Graficamos la región de integración

y = x+1

y = 2x-1

0

2

De esta región se desprenden los siguientes intervalos:
0≤x≤2

2x − 1 ≤ y ≤ x + 1 Lo que nos permite reescribir:
I=

∫∫
S

3x dydx =

∫ ∫ 3x dy dx
0 2 x −12 x +1

… (α)

Primero se resuelve la integral interna, la que llamaremos I1

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x +1

I1 =

2 x −1

∫ 3x dy

I1 = 3xy 2 x −1
I1 = [3 x( x + 1)] − [3 x(2x − 1)]

x +1

I1 = 6x − 3x 2
En (α):
I = (6x − 3x 2 )dx
0

∫

2

I = 3x 2 − x 3

2 0

I = 3(2)2 − (2)3 − 3(0)2 − (0)3
I=4

[

] [

]

Pregunta 3Calcular la siguiente integral doble

∫∫ (x − 2y )dydx
S

Donde S es la región limitada por la parábola y = x 2 y la recta x − y + 2 = 0 .
Resolución

Graficamos la región de integración

y = x+2

y = x^2

-1

2

5

De esta región se desprenden los siguientes intervalos:
−1 ≤ x ≤ 2

x2 ≤ y ≤ x + 2

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Lo que nos permite reescribir:I=

∫∫ (x − 2y )dydx = ∫ ∫ (x − 2y )dy dx
S −1 x 2 x +2

2 x +2

… (α)

Primero se resuelve la integral interna, la que llamaremos I1

I1 =

x2

∫

(x − 2y )dy

I1 = (xy − y 2 ) x 2

x +2

I1 = x(x + 2) − (x + 2)2 − x(x 2 ) − (x 2 )2 I1 = x 4 − x 3 − 2x − 4
En (α):
I = ( x 4 − x 3 − 2x − 4)dx
−1

[

] [

]

∫

2

⎛ x5 x4 ⎞ 2 I=⎜ ⎜ 5 − 4 − x − 4x ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ −12

⎞ ⎞ ⎛ (−1)5 (−1)4 ⎛ (2)5 (2)4 2 I=⎜ − − (2)2 − 4(2)⎟ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 5 − 4 − (−1) − 4(−1)⎟ ⎜ 5 4 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
I = −12 .15

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Pregunta 4

Calcular la siguiente integral doble

∫∫ dydx
S

Donde S es la región limitada por las curvas y = e x , y = ln x y las rectas x = 1 ; x = 3.
Resolución

Graficamos la región de integración

y = e^x

y= lnx

1

3

5

De esta región se desprenden los siguientes intervalos:
1≤ x ≤ 3

ln x ≤ y ≤ e x
Lo que nos permite reescribir: I=

∫∫ dydx = ∫ ∫ dy dx
S 1 ln x ex

3 ex

… (α)

Primero se resuelve la integral interna, la que llamaremos I1 I1 =

ln x

∫

dy

I1 = y ln x

ex

I1 = e x − ln x
En (α):
I = (e x − ln x )dx
1

∫

3

I = ( e x − (x ln x − x ) )1

3

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I = e 3 − (3 ln 3 − 3) − e1 − (1ln1 − 1)
I = 16 .071

[

] [

]

Pregunta 5

Calcular la siguiente integral doble

∫∫ y dxdy
S

Donde S es la región limitada por la curva y = ln x y las rectas x − y = 0 , y = 2 y el eje X.
Resolución

Graficamos la región de integración

y= x 2

y = lnx

0

1

2

5

Deesta región se desprenden los siguientes intervalos:
0≤y≤2

y ≤ x ≤ ey

Téngase en cuenta que el intervalo variable de “ x ” debe estar comprendido entre dos funciones dependientes de “ y ”. Por ello se ha despejado la variable “ x ” en términos de “ y ”.
y=x

es equivalente a x = y

y = ln x es equivalente a x = e y

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Lo anterior nos...