Integrales dobles

Integrales dobles

Prof: Nancy Andrades

Repaso de la situación en una variable
Sea f, función continua y no negativa sobre [a,b] que se divide en n subintervalos de igual longitud ∆x. Si xj esel extremo izquierdo del j-esimo subintervalo entonces, la integral de f en [a,b] se define:
b n lim ∑ f(xj )Δx= ∫ f(x) = F(b)- F(a) dx a

n→∞ j= 1

a

xj

xj+1

b

Gráficamenterepresenta el área bajo la gráfica de f en [a,b]
Cálculo III (A, C y E)

La integral doble
Sea f, continua en una región R del plano xy . Usando líneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio den rectángulos de área ∆A. Sea (xj,yj) un pto del jesimo rectángulo, entonces la integral doble de f sobre R es:

∫∫ f(x,y)dA = n→∞ j=1
R
( xJ, xj+1)

n lim ∑ f(xj , yj )ΔA

Cálculo III (A, C yE)

Interpretación gráfica
La integral doble de una función no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x,y) y sobre la región R del plano xy.

z =f(x,y)

Región R

Cálculo III (A, C y E)

Cálculo de integrales dobles
La integral doble de f sobre la región R, está dada por el valor común de las dos integrales iteradas.

∫∫ f(x,y)dA = ∫ ∫f(x,y)dxdy= ∫ ∫
R c a

d b

b d

a c

f(x,y)dydx

Donde a, b, c y d son los límites de integración de la región R. Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integracon respecto a la otra variable.
Cálculo III (A, C y E)

Propiedades
a)

∫∫ K.f(x,y)dA = K∫∫ f(x,y)dA
R R

b)

∫∫ f(x,y) ± g(x,y)dA = ∫∫ f(x,y)dA± ∫∫ g(x,y)dA
R R R

c) Si f(x,y) > 0, ∀(x,y) ∈ R,

∫∫ f(x,y)dA > 0
R

d) Si R = R1 ∪ R2 , dondeR1y R2 no se sobreponen

∫∫ f(x,y)dA = ∫∫ f(x,y)dA+ ∫∫ f(x,y)dA
R R1 R2
Cálculo III (A, C y E)

Límites de integración
Seccionestransversales verticales: La región R está limitada por las gráficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por R: a ≤ x ≤ b , y = g2(x) R a y = g1(x) b g1(x) ≤ y ≤ g2(x)

∫∫ f(x,y)dA...