Integrales Dobles

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES RECTANGULARES
F(Xi)
Xi-1 xi
z

Ancho=Xi – Xi-1 = ∆xi
Altura = f(Xi)
Area = i=1nfXi ∆Xi
INTEGRAL DOBLE MEDIANTE SUMAS DE RIEMAN
El tipo mas simple deregión cerrada en R2 es la región rectangular cerrada D= [a,b] x [c,d].
Sea f: [a,b]x[c,d] R una función continua sobre el rectángulo: D= [a,b] x [c,d], daremos las consideraciones necesarias paradefinir a la integral doble de funciones definidas en regiones rectangulares.

Definición 1) Partición de un rectángulo

Al conjunto P = P1 x P2 = {(xi, yj): xi E P1, yj E P2} se llamapartición de D= [a,b] x [c,d], donde P1 es una partición de [a,b]
P1 = {a = X0, X1,X2,…,Xn = b}
y P2 es una partición de [c,d]
P2 = { c= Y0,Y1, Y2,…, Ym = d }

Ejemplo 1. Sea D= [0,10] x [0,8]. Si P1= { 0, 1, 2, 3,…,10} y P2 = { 0,1, 2, 3,…,8} son particiones de [0,10] y [0,8] respectivamente, entonces P = P1 x P2 es una partición del conjunto D.

Definición 2) Norma de Partición
ǁPǁ = max{ l P1 l, l P2 l} se llama norma de la partición P.

Definición 3) Suma de Riemann
(x,y): x E [ xi-1 , xi ], y E [ yj-1 , yj ]

Sea Rij =
Uno de los rectángulos originados por lapartición P.

Mij = Sup { f (x,y): (x,y) E Rij
mij = inf { f (x,y): (x,y) E Rij
m
n
Se define la suma superior de Riemann a:
i=1
j=1
Uf (P) = ∑ ∑ Mij ∆xi ∆xj

Se define la sumainferior de Riemann a:
m
n

i=1
j=1
Lf (P) = ∑ ∑ mij ∆xi ∆xj










Definicion 3) Integrable Riemann
La función f(x,y) es integrable Riemann sobreel rectángulo D si f es acotada sobre D, y si existe un único numero I tal que

Lf (P)≤ I ≤ Uf (P), ᵿ P de D
n
m
m
n

j = 1
i = 1
j= 1
i = 1
I = ∫ ∫ f(x,y) dA = lim ∑ ∑Mij ∆xi∆xj = lim ∑ ∑mij ∆xi ∆xj



Teorema 1

Si f es continua en el rectángulo D, entonces f es integrable en sobre D.

Ejemplo 2
Hallar ∫ ∫D dxdy, D = [a,b] x [c,d]...