Integrales Dobles

´ PROBLEMAS RESUELTOS CALCULO VECTORIAL Integrales Dobles y Triples

1.

PROBLEMA
Calcular la integral doble
D

x dA , donde D es la regi´n limitada por y = 2x , y = x2 , por o

los dos m´todos (Barrido vertical y horizontal). e Soluci´n: o
2 2x 2 2x 2

Barrido Vertical:
D

x dA =

x dydx =
0 x2 √ y 4 0

xy
x2 4

dx =
0 √ y

x(2x − x2 ) dx =
4

4 3 dy = 4 3Barrido Horizontal:
D

x dA =
0 y/2

x dxdy =
0

x2 2

dy =
y/2 0

√

y 2 (y/2)2 − 2 2

2.

PROBLEMA
 y = x   y = 1 x dA donde R : x = 2    y=0

Calcular la integral doble
R

Soluci´n: o

R se puede dividir en dos regiones simples: R1 = {(x, y) ∈ R2 = {(x, y) ∈
2 2

/0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x} 1 /1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x } dA =
R R1 1 x 1

Entonces la integral:
1 xdA +
R2

dA 1 2

dA =
R1 0 2 0
1 x

dydx =
0 2

y
0
1 x

dx =
0 2

x dx =

dA =
R2 1 0

dydx =
1

y
0

dx =
1

1 dx = ln(2) x

⇒
R

1 dA = + ln(2) 2

1

3.

PROBLEMA
Calcular la integral doble
R

ey−4x dA, donde R es la regi´n limitada por las rectas o y + 2x

y = 4x + 2, y = 4x + 5, y = 3 − 2x, y = 1 − 2x. Soluci´n: o u = y − 4x, u = 2, u = 5 v =y + 2x, v = 3, v = 1 ∂(u, v) ∂(x, y) ∂(x, y) ∂(u, v) ∂u ∂x = ∂u ∂y 1 =− 6 ∂v −4 2 ∂x = = −6 1 1 ∂v ∂y

ey−4x dA = y + 2x
R 1

3

5

1 eu 1 − dudv = 6 v 6
1

3

5

eu dudv = v

e5 − e2 6

ln(3)

2

2

4.

PROBLEMA
Use un cambo de variables para evaluar la siguiente integral
D

(x + y)e2y−x dA, en donde D

es el paralelogramo de v´rtices (−1, 1), (0, 0), (2, 1), y(1, 2). e Soluci´n: o u = 2y − x, u = 0, u = 3 v = y + x, v = 0, v = 3 ∂(x, y) 1 ∂(u, v) = −3, =− ∂(x, y) ∂(u, v) 3
3 3

(x + y)e
D

2y−x

dA =
0 0

−

1 3 3 e −1 v eu dudv = 3 2

5.

PROBLEMA
Calcular
R

1 dxdy donde R es la regi´n comprendida entre las curvas y = 2x, y = x, o x2

x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4, en el primer cuadrante. Soluci´n: o Utilizando coordenadaspolares: x = r cos(θ) y = r sin(θ) 2

La regi´n R esta limitada por: o r = 1, r = 2 θ = arctan(1), θ = arctan(2) 1 dxdy = x2
R arctan(2) arctan(2) 2 arctan(2)

1 − 2 r cos(θ)2
arctan(2)

r drdθ =
arctan(1)

1 − 2 r cos(θ)2

2

dθ =
1

arctan(1) 1

3 3 sec(θ)2 dθ = tan(θ) 4 4
arctan(1)

=
arctan(1)

3 4

6.

PROBLEMA
Calcular
R

(x2 + y 2 ) dA donde R es la regi´nlimitada por las curvas x2 −y 2 = 1, x2 −y 2 = 9, o u = x2 + y 2 v = 2xy

xy = 1, xy = 4, usando la siguiente transformaci´n: o Soluci´n: o Haciendo el cambio de variable: u = x2 − y 2 , u = 1, u = 9 v = 2xy, v = 1, v = 4 ∂(x, y) 1 ∂(u, v) = 2x2 + 2y 2 , = ∂(x, y) ∂(u, v) 2(x2 + y 2 )
4 9

(x + y ) dA =
R 1 1

2

2

x2 + y 2 1 dudv = 2 + y2) 2(x 2
1

4

9

dudv = 12
1

7.PROBLEMA
1 2x

Calcular
0 x

dydx empleando el siguiente cambio de variable:

x = u(1 − v) y = uv

Soluci´n: o Hallando la nueva regi´n R o y=x u v = u (1 − v) 1 u=0 ∧ v= 2 y = 2x u v = 2u (1 − v) 2 u=0 ∧ v= 3 x=1 u (1 − v) = 1 3

1−v = u=
1 1−v

1 u

∂x ∂(x, y) ∂u = ∂x ∂(u, v) ∂v
1 2x

∂y 1−v v ∂u = =u −u u ∂y ∂v
2 3 1 1−v

dydx =
0 x
1 2

u dudv =
0

1 2

8.PROBLEMA

Calcular el ´rea de la porci´n de superficie z = y 2 + 4x situada sobre la regi´n triangular R a o o del plano X − Y con vertices (0, 0), (0, 2), (2, 0). Soluci´n: o A=
R

1 + (fx )2 + (fy )2 dA
2

Donde la regi´n R = {(x, y) ∈ o

/0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 − y}

f (x, y) = y 2 + 4x, fx = 4, fy = 2y
2 2−y 2

A=
0 0

1 + (4)2 + (2y)2 dxdy =
0

(2 − y)
2

17 + 4y 2 = 17 =argsenh 2 4 17 √ √ 3 3 17 17 + − 4 12

17 2y argsenh( √ ) − 2 17

y 17 −y+ 3 12

2

4y 2

+ 17
0

9.
2

PROBLEMA

Hallar el volumen de la regi´n s´lida Q acotada inferiormente por la hoja superior del cono o o 2 2 z = x + y y superiormente por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 9. Soluci´n: o En coordenadas esf´ricas, la ecuaci´n de la esfera ser´ e o ıa: ρ2 = x2 + y 2 + z 2 = 9, entonces ρ...