Integrales dobles

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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

1. INTEGRALES DOBLES
En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable
real a funciones de varias variables, comenzando en este capítulo con integrales de
funciones de dos variables; es decir, funciones del tipo f : D ⊆

2

→

. La integral

doble tiene diversas aplicaciones tantomecánicas como geométricas, pero su
significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una
función de variable real es el área.

1.1 INTRODUCCIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA
El nombre de Suma de
Riemann se debe al
matemático alemán:
Georg Friedrich
Bernhard Riemann
(1826-1866).

Como referencia para la definición de la integral doble, se debe
recordar laintegral definida de una función real de variable real, la
cual surge como solución al problema del cálculo de área bajo una
curva.
Sea f una función real definida en [a, b] y sea P una partición del
intervalo cerrado [a, b] , donde P = {x0 , x1 , x 2 ,

, xi −1 , xi ,

, x n −1 , x n }.

Una suma de Riemann de la función f para la partición P ,
denotada por RP es un número real obtenidocomo:
n

Sus contribuciones
destacaron en las áreas de
análisis y geometría
diferencial, la
fisicomatemática y la
teoría de funciones de
variables complejas.
Su nombre también está
relacionado con la
función zeta.
La
longitud
del
subintervalo genérico se
calcula de la siguiente
manera:

∆xi = xi − xi −1

RP = ∑ f ( xi* ) ∆xi

(I.1)

i =1

donde: n es el número desubintervalos de la partición P ,
xi* ∈ [ xi −1 ,xi ] y ∆xi

es la longitud del subintervalo genérico

(también llamado subintervalo i-ésimo).
En la figura 1 se aprecia el significado geométrico de la Suma de
Riemann para el caso de una función f positiva en el intervalo
cerrado [a, b] .

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples ySus Aplicaciones

Significado geométrico
de la suma de Riemann
Si la función

f

es

[ ]

positiva
∀x ∈ a, b ,
entonces la suma de
Riemann corresponde a
un valor aproximado del
área de la región
comprendida bajo la
gráfica de la función f ,
sobre el eje x, y entre las
rectas x = a y x = b .

Figura 1.1
Significado geométrico de la Suma de Riemann para una función
positivaen el intervalo cerrado [a, b ] .

f

En la gráfica a) la región sombreada es la que está comprendida bajo la
gráfica de la función f , sobre el eje x, y entre las rectas x = a y x = b .
En la gráfica b) la suma de las áreas de los rectángulos sombreados es el
valor numérico de la Suma de Riemann para la función f en el intervalo
cerrado [a, b ] .

Decir que la norma de la
partición Ptiende a cero,
P → 0 , es equivalente
a decir que el número de
subintervalos
de
la
partición P tiende a
infinito, n → ∞ .

Si la norma de una partición P, denotada como P , se define
como la longitud más grande de todos los subintervalos, entonces
al hacer que la norma sea lo suficientemente pequeña, esto es
P → 0 , la partición se hace más fina, lo cual lleva a la definición

de laIntegral Definida.

∫

El símbolo lo introdujo
el matemático alemán
Gottfried Wilhelm

DEFINICIÓN: integral definida de

f en [a ,b ]

von Leibniz

Sea f una función real definida en un intervalo cerrado [a, b] .

(1646, 1716).

La integral definida de f desde a hasta b , denotada por

∫ f (x )dx , esta dada por:
b

a

∫

b
a

n

f ( x ) dx = Lím ∑ f ( xi* )∆x

siel límite existe.

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

p →0

i =1

(I.2)

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Geraldine Cisneros
La

Integral

∫ f (x )dx
b

a

Definida

es un número

real
que
puede
interpretarse como el área
bajo la gráfica de la
función f , sobre el eje
x y entre las rectas x = a
y x = b , si la función es
positiva.

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