integrales dobles

UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARIBE
FACULTAD DE INGENIERIA






MATEMATICAS III


INTEGRALES DOBLES: AREA Y VOLUMEN



PROF: ALIRIO



GRUPO:







PRESENTADO POR :

IBETH PRADO
DANIEL ROMERO












BARRANQUILLA-ATLANTICO

2013






INTEGRALES DOBLES



Vamos a ver ahora como se utiliza el método de doble integración para calcular elárea o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x,y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares paraF(x,y); esto es,
F(x,y)= 1, o
F(x,y)= y,
Cuando se trate de calcular el área,
o el momento del área respecto al eje x.
La notación
"A" F(x, y)dA (1)

Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x,y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,_A=_x_y=_y_x (2)

algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideración aquellas que se hayan parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en _A interiores al contorno que numeramos en cierto orden
_A1, _A2……._An (3)

sea (xk,yk) unpunto cualquiera de _Ak y formemos la suma

(4)
Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que _x y _y tienden a cero (podemos poner _y= 2_x 0), el límite

(5)
Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación (1)

La integral doble (1) se puede interpretarcomo un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en
z= F(x, y)
El término
F(xk, yk) _Ak

Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base _Ak. La suma Sn de la ecuación (2) nos da así una aproximación del volumen total del sólido,del límite (3) proporciona un volumen exacto.
La utilidad de esta concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, (3) para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la práctica, integral doble sereduce al cálculo o otra de las siguientes integrales iteradas:
"A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx (6)
Que vamos a explicar a continuación. Antes de ello observemos que existen un método (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas no son iguales entre sí y a la integral doble (1), con tal que la función sea continua en A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa,las condiciones necesarias para ella se cumplen para los ejemplos.
Vamos a explicar ahora el significado de la notación
"A" F(x,y) dy dx
El resultado de la integral " F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularla en función resultante entre los límites y=f1(x) e y=f2(x);
para integrar el resultado de a) respecto a x entre los límites x=a y x=b.
Partimos de la integral interior yrealizamos integraciones sucesivas como sigue:

(7)

Considerando x como constante se hace la integración respecta a y.
Podemos adquirir ideas del significado geométrico de la ecuación (7) de manera siguiente. Imaginemos un sólido cuya base sea la región A del plano siendo
z= F(x, y) su altura en el punto (x, y) de A. [Supondremos a simplificar, que F(x, y) es positiva.] Imaginemos ahora...