Integrales Dobles

Aplicaciones físicas de las integrales dobles
Consideremos una lámina delgada L, que ocupa la región R del plano y cuyo espesor es despreciable. En dicha región de distribuye de manera continua una masa con densidad superficial [pic].

Masa de la lámina
[pic]
Momentos estáticos respecto de los ejes
El momento estático [pic] respectivamente [pic] de un punto material [pic] de una masa m,respecto al eje x y respectivamente al eje y, es el producto de la masa por su distancia al eje x y respectivamente al eje y. Luego los momentos estáticos de la lámina L estarán dados por:
[pic]

Centro de masa o centro de gravedad
Se define como el punto en que se habría de colocar el punto de apoyo para que el sistema alcanzase el equilibrio. Viene dado por
[pic]
Centro geométrico
Lascoordenadas [pic] del centroide de una región plana R de área [pic] satisfacen las relaciones: [pic] o también

[pic]
Momentos de inercia de L
El momento de inercia de un punto material P de masa m, respecto a una recta r, o un punto [pic] es el producto de la masa por el cuadrado de la distancia de P a la recta o al punto.
Y el momento de inercia de un conjunto de puntos materiales respecto a[pic] , es la suma de los momentos de inercia de los diversos puntos del conjunto. Por tanto, los momentos de inercia vendrán dados por:
• Respecto al eje x
[pic]
• Respecto al eje y
[pic]
• Respecto al origen (denominado también momento de inercia polar)

[pic]
• Respecto a un punto [pic]

[pic]
2.2 INTEGRALES TRIPLES

Si [pic] es una función uniforme y continuadefinida sobre una región R cerrada en el espacio, por ejemplo, la región ocupada por una bola sólida o una masa de arcilla, entonces la integral de f sobre R puede definirse de la siguiente manera.

Subdividimos una región rectangular que contenga a R en celdas rectangulares por planos paralelos a los planos coordenados. Las celdas que se encuentran dentro de R de 1 a n en cierto orden; una celdatípica tendrán entonces dimensiones [pic] por [pic] por [pic] y volumen [pic]. Escogemos un punto [pic] en cada celda y formamos la suma:
[pic]

Si f es continua y la superficie que limita a R está hecha de superficies suaves unidas a lo largo de curvas continúas, entonces cuando [pic], [pic], [pic] tienden a cero independientemente, las sumas Sn tenderán a un límite
[pic]
Esta integralrepresenta la medida del volumen de la región R, y no es más que una generalización del concepto de integral simple y doble.

Llamamos a este límite Integral Triple de f sobre R. El límite también existe para algunas funciones discontinuas.
Entonces la integral triple viene definida por:
[pic]

Propiedades de las integrales triples
Como en el caso de las integrales dobles, las triples cumplentambién las propiedades de linealidad, aditividad respecto a la región de integración, leyes de monotonía y el teorema de la media, cuyos enunciados son análogos a los correspondientes para las integrales dobles.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Cálculo de integrales triples en coordenadas cartesianas o rectangulares
En general, no se calcula una integral triple a partir de su definicióncomo límite dirigido de unas sumas de Riemann. Aunque sí se utiliza la definición cuando es necesario recurrir a hallar valores aproximados, utilizando métodos numéricos.

Para calcular valores exactos, se aplica la versión tridimensional del teorema de Fubini visto para las integrales dobles que permitía resolverlas mediante reiteración de integrales simples. En el caso de integrales triples,se necesitarán tres integrales simples reiteradas.

[pic]

Tomando los límites de integración de forma que cubran la región R, pudiendo variarse el orden de integración seis (6) formas distintas.

Cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricas
Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje...