Integrales fracciones parciales

Conceptos Previos:

De acuerdo con la definición de una función racional, H es racional
cunado H ( x) = P( x) , siendo P(x) y Q(x) polinomios.
Q( x)

ic
at
em
at
.M
w

1
x 2 − 3x + 2w

w

x
x2 + 4

a1

.c

om

Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces a la
fracción se le llama propia.

Es impropia cuando el grado del numerador es de igual omayor
grado que el denominador.

x3
x 2 − 2x + 1

x2 + 2
x 2 + 5x + 6

Cuando se tiene una fracción impropia, podemos dividir el
numerador entre denominador hasta obtener una función propia.x 4 − 10 x 2 + 3x + 1
x2 − 4

x2 − 6 +

3 x − 23
x2 4

x 4 − 10 x 2 + 3 x + 1
dx
2
∫
x −4

at

ic

a1

.c

om

De manera que si queremos integrar:

3 x − 23
dx
2
x4

ww

w

.M

at

em

2
El problema se reduce a integrar: ∫ x − 6 + ∫

En general, entonces , nos interesa la integración de expresiones de la
forma
P ( x) , donde el grado de P(x) esmenor que el grado de Q(x).
∫ Q( x) dx
Para hacer esto, suele ser necesario escribir P(x)/Q(x) como una
suma de fracciones parciales. Los denominadores de tales fracciones
se obtienen al factorizarQ(x) como producto de factores lineales y
cuadráticos.

Integración por Fracciones
Integración
Parciales.
Parciales.

ic

a1

.c

om

Consideramos varios casos por separado. Losresultados
del algebra avanzada, que no demostramos aquí, nos proporcionan
la forma de las fracciones parciales en cada caso:

.M

at

em

at

Caso1:
w

w

w

Los factores de Q(x) sontodos lineales y ninguno se repite,
es decir:

Q( x) = (a1 x +b1 )(a 2 x +b 2 )...(a n x +b n )
En este caso escribimos:

P( x)
A1
A2
An
≡
+
+ ... +
Q( x) a1 x +b1 a2 x +b 2
an x + b nEjemplo:
Ejemplo:
Calcular:

dx
∫ x 2 − 16

Solución:

om

En este ejemplo: Q(x) = x2 – 16 = (x – 4) ( x + 4)

w

w

.M

at

em

at

ic

a1

.c

1
A
B
=
+
x 2 −...