Integrales impropias USM

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a

Coordinaci´n de Matem´tica II (MAT022)
o
a
2do Semestre 2010
Hoja de Trabajo “Integrales Impropias”

1. Estudie la convergencia de la integral impropia:
4

dx
(x − 1)2/3

−2

2. Determine si es posible, la existencia y/o el valor de las integrales:
a)
π/4
0

cos 2x − 1 + sin x
dx
2(1 − sin x)b)
+∞

2e−x sin xdx
0

3. Estudie la convergencia seg´n los valores de a ∈ R:
u
+∞

xe−ax dx
0

4. Sea

∞

In =
0

x2n−1
dx;
(x2 + 1)n+3

n≥1

a) Demostrar que
n−1
In−1
n+2

In =
b) Encontrar
∞

(x2

0

5. Estudie la convergencia de la integral:

∞

√

I=
1

x3
dx
+ 1)5
dx
x2 − 1

6. Determine (si es que existe) el valor de:
+∞
a

x2

√dx
x2 − a2

7. Es posible calcular la integral
b

1 − x2 dx a, b ∈ R

x
a

Justificar claramente su respuesta.
8. Determine

1
−1

d
1
arctan dx
dx
x

1

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9. Decida si la siguiente integral converge o diverge. Justifique adecuadamente su respuesta.
∞

dx
(1 + x)(2 + x)(3 + x)

0Ayuda: No intente integrar.
10. Calcular

∞

dx
x(1 + x2 )

1

11. Encuentre

1

f (x)dx

l´
ım

a→+∞

donde

x2
, a > 1, x ∈ [0, +∞[
ax

f (x) =
12. Sea

0

x2
1
f (x) = √ e− 2k2
2

una distribuci´n normal. Suponga que:
o

√

+∞

e

−x2

dx =

0

π
2

Demuestre que:
+∞

f (x)dx = 1
−∞

13. Eval´e la integral impropia
u
4

√

I=
214. Determine

+∞
0

w
dw
w2 − 9
2x
dx
3x

15. Estudie la convergencia de:
+∞

2

e−x dx
1

Justifique su respuesta.
16. Determine el valor de n ∈ N, de manera que la integral
∞
1

dx
x(xn + 1)

sea convergente. Justifique claramente su respuesta.
17. La transformada de Laplace de una funci´n f (t) est´ dada por:
o
a
+∞

f (t)e−st dt

L{f (t)}(s) =
0

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Demuestre que L{eat } =

1
s−a

para s > a.

Soluci´n:
o
+∞

L{eat }

eat e−st dt

=
0

b

=
=
P ara s > a;

et(a−s)dt

l´
ım

b→+∞

0

1 − eb(a−s)
b→+∞
s−a
l´
ım

l´ eb(a−s) = 0
ım

b→+∞

1
s−a

∴ L{eat }(s) =

18. Determinar si las siguientes integrales impropiasconvergen o no. En caso afirmativo calcule la integral:
a)
+∞

2

y 3 e−y dy
−∞

b)
1

dx
x(1 − x)

0

c)
+∞
−∞

d)

dx
x2 + 6x + 12

∞

dx
x x2 − 1
√

1

e)
0

1 + x2/3 dx
−1

f)
0
−2

√
3

dx
x+1

g)
1
−1

dx
|x|

h)
4
1

dx
√
(x − 3) x + 5

19. Establezca la convergencia de:
a)
+∞

2

e−x dx
−∞

3

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b)
1

ln(x + 2)
√
dx
1 − x2

0

c)
+∞

dx
√
+ x

x2

0

d)
+∞

ln x
+1

x2

1

20. Calcular

+∞

ln x
dx
+1

I=

x2

0

Ayuda:
1

I=
0

+∞

ln x
dx +
x2 + 1

ln x
dx
x2 + 1

1

y considerar el cambio de variable x = 1/u en la primera integral.
21. Demostrar que:
a) Para cualquier n∈ N la siguiente integral converge
1
0

b) Para a > 0 la integral

(ln x)n
√
x

a

xk ln xdx
0

converge ∀k > −1 y diverge ∀k ≤ −1.
22. Si 0 < p < 1, analizar la convergencia de:
+∞

xp−1
dx
1+x

0

23. Encuentre el area de la region comprendida entre las curvas:
y=

1
x

e

y=

x2

1
,
+x

para 0 < x ≤ 1

24. Determinar si es posible asignar un n´merofinito para representar la medida del ´rea de la regi´n acotada
u
a
o
1
por el eje x y la curva y = ex +e−x .
25. Sabiendo que:
1
√
2π

∞

e−x

2

/2

dx = 1

−∞

Demostrar que:
a)
1
√
2π
b)
1
√
2π

∞

xe−x

2

/2

dx = 0

−∞
∞

x2 e−x

2

/2

dx = 1

−∞

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