Integrales impropias

NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III

INTEGRALES IMPROPIAS

Ing. Juan Sacerdoti

Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires 2002 V 02

INDICE
INTEGRALES IMPROPIAS 1.- PUNTOS SINGULARES DE LA INTEGRAL IMPROPIA 2.- DEFINICION DE INTEGRALES IMPROPIAS Y CONVERGENCIA 2.1.- DEFINICION DE INTEGRALES IMPROPIAS 2.2.- INTEGRALES CONVERGENTESDIVERGENTES Y OSCILANTES 2.3.- CONVERGENCIA ABSOLUTA 2.4.- EJEMPLOS DE II 2.5.- INTEGRALES IMPROPIAS CON UN NUMERO FINITO DE SINGULARIDADES 2.6.- EJEMPLOS DE INTEGRALES IMPROPIAS PARA TABLA DE COMPARACION 3.- VALOR PRINCIPAL DE UNA INTEGRAL IMPROPIA 3.1.- DEFINICIÓN DE VALOR PRINCIPAL 3.2.- EJEMPLO DE VALOR PRINCIPAL PARA TABLA DE COMPARACIÓN 4.- CRITERIOS DE CV 4.1.- ANALISIS DE LA DEFINICIÓN 4.2.-CRITERIO DE BOLZANO CAUCHY 4.3.- CRITERIO DE COMPARACIÓN 4.3.1.- CASO GENERAL 4.3.2.- CRITERIO DE COMPARACIÓN: CASOS PARTICULARES 4.4.- CRITERIO DE COMPARACIÓN POR LIMITE 4.4.1.- TEOREMA I 4.4.2.- TEOREMA II 4.4.3.- TEOREMA III 4.6.- CRITERIO DE COMPARACIÓN CON SERIES POSITIVAS 4.7.- CRITERIO DE ABEL 4.8.- CRITERIO DE COMPARACIÓN POR SERIES 5.- TABLA DE INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS(II)
1.- PUNTOS SINGULARES DE LAS II Una forma de extender el concepto de Integral de Riemann (IR) es establecer una nueva definición para los casos donde no se cumplan las dos condiciones previas: H1 H2 d(a,b) < M1 | f | < M2 Intervalo acotado Función acotada

Se llaman puntos singulares de la función real a los puntos aislados del intervalo de integración donde no se cumplen las H1 y H2 de laIntegral de Riemann. Def.:

V ,V s ∈ punto singular (f[a,b]) :=  + ∞ − ∞ V s

H1 H2

d(a, b) / < M 1 | f | / < M2

(Intervalo no acotado) (Función no acotada)

2.- DEFINICION DE INTEGRALES IMPROPIAS Y CONVERGENCIA 2.1.- DEFINICION DE INTEGRALES IMPROPIAS
Suponiendo que en la Integral Impropia existe un único punto singular, se presentan los dos casos, cuando el intervalo no es acotadoo la función no es acotada.

Definición de Integral Impropia: Caso Intervalo no acotado

H1

∀A

∫

A

a

f(x) dx ∈ IR
A→ +∞

∫

+∞

f(x) dx := lim

a

∫

A

f(x) dx

a

Definición de Integral Impropia: Caso función no acotada

H1 H2

s ∈ [a b]

∀ (ε 1 ε 2 )

∫
ε 1 →0 +

s −ε 1

a

f(x) dx ∈ IR
s −ε 1

∫

b

s +ε 2

f(x) dx ∈ IR

∫

ba

f(x) dx := lim +

∫

a

f(x) dx + lim +
ε 2 →0 +

∫

b

s +ε 2

f(x) dx

Obs.1: Las variables ε1 y ε2 son diferentes. Más adelante se estudiará que sucede si definen como iguales. Obs.2: Las II sobre intervalo no acotado se pueden transformar en II del tipo de funciones no acotadas por el cambio de variables t = 1/(x-s). Por lo tanto para el estudio de las propiedades delas II, es indiferente hablar de un tipo u otro.

2.2.- INTEGRALES CONVERGENTES DIVERGENTES Y OSCILANTES
Las II como límite de IR se clasifican según la existencia o no del límite y si es finito o infinito. Esta clasificación es análoga a la que se hace para las series. Se denomina entonces II convergentes, divergentes y oscilantes, las que cumplen:

Def

∫ ∫

II

∈ CV := ∃ lim ∈ DVII

∫ := ∃ lim ∫

finito infinito

IR

IR

∫

II

∈ OSC := /∃ lim

∫

IR

Obs.: En algunos textos se usa el concepto de Divergente como contrario lógico de Convergente. La convención de este texto es que Integral No Convergente es Divergente u Oscilante. 2.3.- CONVERGENCIA ABSOLUTA
Se define en forma análoga a como se hace con las series la Convergencia Absoluta de lasIntegrales Impropias . Esto es la Convergencia de la Integral de | f | .

Def:

∫

II

f ∈ CA :=

∫

II

| f | ∈ CV

2.4.- EJEMPLOS DE II Ejemplo 1

∫

+∞

1 1+ x2

dx

0

I.- Análisis de existencia de la función sobre el intervalo de Integración y puntos singulares Vps /H1 H2 [0,+∞[ /< M1 | f | < M2 ⇒ Vps : V+∞

II.- Existencia de IR

∫ ∫ ∫

A

1 1+ x2

0

dx ⇐...