INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS

Trabajo Presentado Por:
ELSEO CHICA GIRÓN

Presentado A:
JAIRO GARCIA

CORPORACION UNIVERSITARIA UNITEC
INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES
CALCULO INTEGRAL
BOGOTÁ D.C
2015INTEGRALES IMPROPIAS

Las Integrales impropias son una clase especial de la integral definida, en las
que el intervalo de integración o la función en el integrando o ambas presentan
𝑏

ciertasparticularidades
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 es impropia si: a=−∞ y b=∞ ó a= ∞ y
b=−∞, a y b también pueden tomar un valor cualquiera.
Definiciones para Integrales Impropias.

1. Definición



∞

𝑏

Si f es continua para todo x≥ 𝑎, entonces ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏→∞

Si f es continua para todo x ≤ 𝑏, entonces

𝑏
∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

= lim ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎→−∞

2. Definición
Si f es continua para todo x que Pertenece a los Reales yc pertenece también
+∞

𝑐

𝑏

a los Reales, entonces ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥,
𝑎→−∞

∞
a

0
c

𝑏→+∞

+∞
b

3. Definición:
Nota: el símbolo + significa Por La Derecha
El símbolo -significa Por La Izquierda


Si f es continua para todo x que Pertenece al intervalo (𝑎, 𝑏] (abierto en a y
𝑏

𝑏

cerrado en b) y lim 𝑓(𝑥) = ∞, entonces ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 lim ∫𝑡 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥→𝑎∗



𝑡→𝑎+

Si f escontinua para todo x que Pertenece al intervalo [a,b), (cerrado en a y
𝑏

𝑡

abierto en b) y lim 𝑓(𝑥) = ∞, entonces ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥→𝑏−

𝑡→𝑏−

Al final cuando evaluemos los límites debemosSaber sin son CONVERGENTE
Y DIVERGENTES:



Si los Limites son Finitos entonces la integral impropia Converge, y el límite es
el resultado de la integral impropia.
Si los Limites no existen entonces laintegral impropia Diverge. (ejemplo
cuando una onda que se va hacia el infinito).

EJERCICIOS:
∞ 𝟏

1. ∫𝟏

𝒙𝟐

𝒅𝒙

𝒃 𝟏

𝐥𝐢𝐦 ∫𝟏

=

𝒃→∞

𝒙𝟐

𝒃→∞

𝟏

𝟏

𝟏

𝒃

𝟏

𝒃

…= 𝐥𝐢𝐦 [ (− ) − (− )] = 𝐥𝐢𝐦 [−
𝒃→∞𝒙−𝟏 𝒃
]
𝒃→∞ −𝟏 𝟏

𝒃

𝒅𝒙 𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 ∫𝟏 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 [
𝒃→∞

+ 𝟏] =

−𝟏
∞

𝟏

= 𝐥𝐢𝐦 [− ] 𝒃𝟏 =...
𝒃→∞

𝒙

+ 𝟏 = 𝟎 + 𝟏 = 1 Converge
Anti derivada indefinida



𝒄
∫−∞ 𝟏+𝒙𝟐 𝒅𝒙 = ∫𝒂 𝟏+𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 ∫𝒂 𝟏+𝒙𝟐...