Integrales Indefinidas

UNIDAD I
INTEGRALES INDEFINIDAS
Facilitadores:
Ing. Tomas Briceño
Ing. Deisy Diaz
Ing. Reinaldo González
Ing. José Matos
Ing. Mariamelys Peralta
Ciudad Ojeda, Marzo del 2010
Problemas y Ejercicios Matemática II
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CONTENIDO
1. Integrales Inmediatas
2. Métodos de Integración
a. Por medio de Variables
b. Trigonométricas
c. Por parte
d. Funciones Racionales
e. Funciones Irracionalesf. Sustitución Trigonométrica
g. Otros (Binomicas)
Problemas y Ejercicios Matemática II
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En esta unidad se estudiara la operación inversa de la diferenciación denominada antiderivación o antidiferenciación, la cual implica el cálculo de una antiderivada.
Antiderivada: Una función se denomina antiderivada de la función en un intervalo si para todo valor de en .
Ejemplo: Si es una funcióndefinida por: entonces . De modo que si esta definido por , entonces es la derivada de , y es la antiderivada de . Si es la función definida por entonces también es una antiderivada de por que . En realidad cualquier función determinada por donde C es una constante, es una antiderivada de .
La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas lasantiderivadas de una función dada. El símbolo denota la operación de antiderivación, y se escribe:
En esta igualdad es la variable de integración, es el integrando y la expresión recibe el nombre de antiderivada general o integral indefinida de . Si es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean dx, también es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es .
Los siguientesteoremas pueden demostrarse a partir de los teoremas correspondientes de diferenciación:
1)
2)
3)
4)
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1. Integrales Inmediatas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
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Pasos para Realizar una integral indefinida elemental:
Primer paso: revisar si esnecesario resolver una propiedad, es decir se deben resolver paréntesis (propiedad distributiva), aplicar las propiedades de exponentes, logarítmicas, entre otras.
Segundo Paso: Luego de revisado el ejercicio se deben aplicar las propiedades de integración e integrar (aplicar las integrales inmediatas).
Tercer Paso: Ordenar el resultado, factorizar (si es posible), aplicar propiedades logarítmicas,entre otros, con el fin de Minimizar la expresión.
Ejercicios:
a)
b)
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c)
Ejercicios Propuestos
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l) +c
m)
n)
o)
p)
q)
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2. Métodos de Integración
Algunas antiderivadas no pueden determinarse aplicando únicamente las integrales inmediatas, por lo que se deben emplearmétodos o técnicas.
a. Por medio de Variables
Este método requiere de la técnica de la regla de la cadena para antiderivación y aquellas que implican un cambio de variable.
Regla de Cadena para antiderivación: “Sea una función diferenciable y sea el contra dominio de algún intervalo . Suponga que es una función definida en y que es una antiderivada de en . Entonces”
Ejemplos:
a)
b)
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c)
d)
=
e)
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Ejercicios Propuestos
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
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k)
l)
m)
n)
o)
p)
b. Trigonométricas de Potencia
Estas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas. Se utilizaran formulas e identidades trigonométricas para evaluar integrales quecontienen productos de potencias de dichas funciones. Existen diez (X) casos, nueve dependen de los exponentes ya sean números enteros positivos pares o impares.
CASO I
(i) o (ii) , donde n es un número entero positivo impar
(i) Factor
(ii)Factor
CASO II , donde al menos uno de los exponentes es un número entero positivo impar.
(i) Si n es impar, entonces
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