Integrales iteradas

INDICE
Temas No. Pag.
5.1Integrales Iteradas……………………………………………………………..1

5.2 Definición de integral Doble: Aéreas y Volumen………………………2

5.3 Integral Doble en Coordenadas Polares…………………………………3

5.4 Aplicaciones de la integral doble (Geométricas y Físicas)…………..4

5.5 Definición de IntegralesTriples…………………………………………..5

5.6 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas…………6

5.7 Aplicaciones de la Integral Triple………………………………………..7

5.1 Integrales Iteradas.
Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste enque una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión

Se refiere a una integral iterada, la parte externa

Es la integral con respecto a x de la función de x:

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólosi las dos integrales iteradas existen y son iguales. En otras palabras, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

Deuna manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.
1

Esto ocurre, cuando f es una función acotada y tanto A como B son regiones acotadas también. Esto se entiende fácilmente pensando que si la función o la región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puedeexistir.
La notación

Se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una iterada.

5.2 Definición de integral Doble: Aéreas y Volumen.
Sea f, continua en una región del plano xy. Usando líneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos de área △A. Sea (Xj, Yj) un punto del jesimo rectángulo, entonces, la integral doble de f sobre R es:2
Integral doble Área
El método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x,y) de dos variables x e y. Lasaplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x,y); esto es:
F(x,y)= 1, o F(x,y)= y,
Cuando se trate de calcular el área, o el momento del área respecto al eje x.
"A" F(x, y)dA (1)
Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x,y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejesx e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,
A=xy=yx (2)
Algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideración aquella que se haya parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores alcontorno que numeramos en cierto orden
A1, A2…….An (3)
3
Sea (xk,yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma.



Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite.


Existe, y se expresa por la...