Integrales multiples
Páginas: 4 (937 palabras)
Publicado: 24 de mayo de 2010
Aplicaciones de las integrales dobles.
Las integrales dobles tienen múltiples aplicaciones en física y en geometría. A continuación damos una relación de alguna de ellas.
1. El área deuna región plana R en el plano x y viene dada por una integral doble.
[pic]
2. El volumen V encerrado entre una superficie z = f(x, y)> 0 y una región R en el plano x, y es:[pic]
3. Sea f(x, y) la función de densidad (=masa por unidad de área) de una distribución de masa en el plano x, y. Entonces la masa total de un trozo plano R es:
[pic]
4. Elcentro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas x, y donde:
[pic]
5. Los momentos de inercia [pic] e [pic] de la masa de R con respecto a los ejes x e yrespectivamente son:
[pic]
Definición Integrales Triples.
El procedimiento utilizado para definir una integral triple imita el de las integrales dobles. Consideremos una función [pic] detres variables, continua sobre una región solida acotada Q. Superponemos a Q un retículo de cajas y formamos la partición interior con todas las cajas que están completamente de Q. El volumen de lai-ésima caja es:
[pic]
La norma ||∆|| de la partición es la longitud de la diagonal más larga entre las n cajas de la partición. Elegimos un punto [pic] en cada caja y formamos la suma de Riemann[pic]
Tomando el límite para ||∆|| [pic]0 llegamos a la siguiente definición.
Definición
Si [pic] es continua en una región solida acotada Q, la integral triple de f sobre Q sedefine como:
[pic]
Siempre que este límite exista. El volumen de la región solida Q viene dado por
[pic]
Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas.
Muchasregiones comunes, como esferas, elipsoides, conos o paraboloides, dan lugar a integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares. Tan es así que fue esa dificultad el motivo de la...
Las integrales dobles tienen múltiples aplicaciones en física y en geometría. A continuación damos una relación de alguna de ellas.
1. El área deuna región plana R en el plano x y viene dada por una integral doble.
[pic]
2. El volumen V encerrado entre una superficie z = f(x, y)> 0 y una región R en el plano x, y es:[pic]
3. Sea f(x, y) la función de densidad (=masa por unidad de área) de una distribución de masa en el plano x, y. Entonces la masa total de un trozo plano R es:
[pic]
4. Elcentro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas x, y donde:
[pic]
5. Los momentos de inercia [pic] e [pic] de la masa de R con respecto a los ejes x e yrespectivamente son:
[pic]
Definición Integrales Triples.
El procedimiento utilizado para definir una integral triple imita el de las integrales dobles. Consideremos una función [pic] detres variables, continua sobre una región solida acotada Q. Superponemos a Q un retículo de cajas y formamos la partición interior con todas las cajas que están completamente de Q. El volumen de lai-ésima caja es:
[pic]
La norma ||∆|| de la partición es la longitud de la diagonal más larga entre las n cajas de la partición. Elegimos un punto [pic] en cada caja y formamos la suma de Riemann[pic]
Tomando el límite para ||∆|| [pic]0 llegamos a la siguiente definición.
Definición
Si [pic] es continua en una región solida acotada Q, la integral triple de f sobre Q sedefine como:
[pic]
Siempre que este límite exista. El volumen de la región solida Q viene dado por
[pic]
Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas.
Muchasregiones comunes, como esferas, elipsoides, conos o paraboloides, dan lugar a integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares. Tan es así que fue esa dificultad el motivo de la...
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