integrales multiples

Unidad 5. Integrales Múltiples
1. Introducción:
Integrales múltiples: son la integral de una función de dos variables ϝ(x,y) sobre una región el plano y la integral de una función de tresvariables ϝ (x,y,z) sobre una región en el espacio. Se usan para calcular cantidades que varían sobre 2 o 3 dimensiones, como la masa total o el momento angular de un objeto de densidad variable, y elvolumen de solidos con fronteras curvas.
2. Integral de Línea
Una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dosdimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
Ejemplo:

3. Integrales iterada, dobles y tiples (Teorema de Fubini)
Integrales iteradas dobles.
-Integrales iteradas endominios simples respecto de x.
El rectángulo R = [a, b] × [c, d] y dos funciones reales continuas
φ, ψ : [a, b] 7→ [c, d] tales que φ(x) ≤ ψ(x) para todo x ∈ [a, b]); y el dominio D contenido en elRectángulo [a, b] × [c, d] definido como:
D = {a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} (1)

Definición 2.1.1. El dominio D definido en (1) se llama dominio simple respecto de x.
Consideremos la integralparamétrica de f(x, y) de parámetro x y límites de integración φ(x)
y ψ(x), definida en 1.2.1:

Ejemplo:

Teorema de Fubini
El teorema de Fubini dice que las integrales dobles sobre rectángulos puedencalcularse mediante integrales iteradas. Entonces, podemos evaluar una integral doble, integrando con respecto a una variable a la vez. El teorema de Fubini también dice que podemos calcular la integraldoble, integrando en cualquier orden. Cuando calculamos un volumen rebanándolo, podemos usar planos perpendiculares al eje x o pla- nos perpendiculares al eje y.


Teorema de Fubini para integralesdobles:
Calcular el volumen que existe debajo del plano z=4-x-y y sobre la región rectangular R: 0≤x≤2, 0≤y≤1.

Donde A(x) es el área transversal en “X”. Para cada valor de X, se calcula A(x)...