Integrales multiples

Ejercicios Resueltos MAT024 Integrales Múltiples

A continuación encontrará el enunciado de una serie de ejercicios, y sus respectivas soluciones en hojas posteriores. Antes de mirar la respuesta, intente usted resolverlos por si mismo, recuerde que el día de la prueba no dispone de la solución. Problema 1. Invirtiendo el orden de integración, calcule
÷ 2 ÷ x3
1 x

x y dy dx  

÷8÷8

xy dy dx
2 x

Problema 2. Encontrar el volumen del sólido limitado por el plano x   2z
÷

2 y el paraboloide x2   y 2

1 ¡ z.

Ayuda:

cosn du

1 n¡1 cosn¡1 u sen u   n n

÷

cosn¡2 u du
ø

Problema 3. Usando un cambio de variable apropiado, calcule la integral
R

64 x3 y dA,

donde R es la

región del primer cuadrante encerrada entre los círculos centrados en el origende radios 3 y 4, y las hipérbolas x2 ¡ y 2 1 y x2 ¡ y 2 4. Problema 4. Usando un cambio de variable apropiado, calcule la integral
ø
R

xÔx2 y   1Õ dA

siendo R la región en el primer cuadrante encerrada por las curvas y y   x2 3 Problema 5. Considere la region R limitada por las rectas y Usando un cambio de variable apropiado, calcule
ø
R

x2 , y 1 y x

x2 0.

  1, y   x2

2

ex,

y

Ôxy   y2Õ eÔx yÕ
 

2

dA

Problema 6. Calcule la siguiente integral doble
ø
R

x2   y 2

¨¡3ß2

dA
´

donde R es el conjunto R

Problema 7. Usando integrales dobles, calcule el área de la región exterior a la circunferencia x2   y 2 interior a la rosa de cuatro pétalos r 2 senÔ2θÕ.

Ôx, yÕ È R2

: x2   y 2

1, y   x

1, y

x

1e

rgeraldopProblema 8. Calcular, usando un cambio de variable apropiado
ø
D

cosÔx2   2xy   4y 2 ÕdA, donde

D

ØÔx, yÕ È R2 : x2   2xy   4y2

4Ù

Problema 9. Haciendo un cambio de variable apropiado, calcule la integral
ø
R

2x lnÔy ¡ x2 Õ dA 0ey 2, y la curva y2   2

donde R es la región limitada en el primer cuadrante por las gráficas de las rectas x y x2   1.

Problema 10. Calcule el centrode masa del sólido acotado por los cilindros parabólicos z y los planos x ¡2 y x 2.

4 ¡ y2, z

Problema 11. Calcule el volumen del trompo. Este cuerpo tiene la forma del sólido que queda encerrado entre las superficies z 4 729Ôx2   y 2 Õ, con ØÔx, y Õ : 0 x2   y 2 9Ù, y el hemisferio superior de la esfera x2   y 2   Ôz ¡ 9Õ2 9 Problema 12. Calcular el volumen del sólido limitado por loscilindros Ôx ¡ 1Õ2   y 2 y los planos z 0 y z y   2 Problema 13. Sea Q ù gral
Q

1,
´

Ôx ¡ 2Õ2   y2

4

Ôx, y, z Õ È R3

: x2   y 2   z 2

4

x2   y 2   Ôz ¡ 2Õ2

4

y considere la inte-

2z dV

(i) Escriba la integral en cuestión en coordenadas cilíndricas. (ii) Escriba la integral en cuestión en coordenadas esféricas (en este caso es una suma de dos integrales). (iii) Calculela integral usando (i) o (ii). Problema 14. Considere el sólido Q encerrado por las esferas x2   y 2   Ôz ¡ 1Õ2 en interior al cono z x2   y 2 . 1, x2   y 2   Ôz ¡ 2Õ2 4

(a) Escriba una expresión que permita calcular el volumen de Q usando coordenadas esféricas. (b) Escriba una expresión que permita calcular el volumen de Q usando coordenadas cilíndricas (son dos integrales). (c) Calcule elvolumen usando (a) o (b) Problema 15. (a) Calcule, USANDO UN CAMBIO DE VARIABLE,
ù
Q

Ôz ¡ yÕ2 x2 y dx dy dz
4, 2 1   x, x ¡ y
ø

siendo Q

Ôx, y, z Õ È R3

: 1

x

3, 0

z¡y

xy 2

4

´

con x, y 1, y x
2

0

(b)Considere la región D limitada por las curvas 2y Escriba las integrales
ø
D

¡ 1.

f Ôx, y Õdxdy

y
D

f Ôx, y Õdydx.

Problema 16. Dado un discode radio 1 y un punto A sobre su frontera. La densidad de masa por unidad de área en cualquier punto P del disco es igual a la distancia que hay entre P y A. Determine el centro de masa del disco.

rgeraldop

Soluciones
Problema 1:

Al invertir el orden de integración nos queda
÷8÷y
1 y 1ß3

xy dx dy

Realizando el cálculo
÷8÷y
1 y 1ß3

xy dx dy

2 3

÷8
1

 

y 2 ¡ y...