Integrales multiples

CALCULO DE VARIACIONES

A pesar del gran perfeccionamiento logrado por WELERSTRASSA finales del siglo, no correspondía el cálculo de variaciones a las exigencias usuales en análisis, la familia estudia de curvas o superficies forma un espacio de infinitas dimensiones, y sin embargo la variación se realiza en una sola. La variación general en todas las dimensiones fue por realizada por el belgaDE DONER, con su teoría invariativa en la que analiza con rigor la teoría de las integrales múltiples con su teoría invariativa (1930-33) en que analiza con rigor las variaciones de las integrales múltiples, que fundada por POINCARE en sus famosos méthodes nouvelles de la mecanique celeste llego a perfecta madurez por la obra de de Elie CARTAN
Otro punto débil del calculote variación es elproblema de existencia de la solución, que HELBERT, a pesar de su posición formalista zanjo del mundo mas satisfactorio para los intuicionistas construyendo la solución, así vindico a Riemman construyendo la superficie que hace mínima la integral mal llamada Dirichlet.

[pic] postulado en el que apoyaba su teoría las dos notas en que del potencial HILBERT logra esto perfeccionando el método decalculo numérico de raíz (1909) abrieron las puertas al nuevo calculo de variaciones con su métodos directos que puede estudiarse en la obra de su mas valioso propulsor RICHAR COUNTRA )¹

¿COMO SURGE LAS INTEGRALES MULTIPLES?

La teoría de Lebesgue dentro de sus grandes avances también se refiere a las integrales múltiples. Esta notación había sido introducida mediados del siglo XVII, y lo fueprimeramente en la forma de integral definida por analogía del teorema de la integral para las funciones de una variable ,[pic] [pic] designa una solución de ecuación [pic]= [pic]pero ya en 1770 tiene Euler una concepción muy clara de las integrales dobles extendida a un dominio acotado( limitada por los arcos de curvas analíticas), y describe correctamente la formula que permite calcular unaintegral de este tipo mediante dos integrales simples sucesivas no era difícil justificar esta formula partir de sumas de Riemman mientras la función integrada fuese continua y el dominio de integración no fuese demasiado complicado, pero apartir del momento en que se quería abordar caso mas general el procedimiento de Riemman encontraba serias dificultades [pic] pude ser integrable en lesentido de Riemman sin que [pic]tenga sentido considerando las integrales simples en el sentido Riemman estas dificultades desaparecen cuando se pasa a la definición de Lebesgue; ya que será ultimo había
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.¹BOURBAKI, Nicolas. Elementos históricos de las matemáticas Pág.307-315
mostrado en su tesis que cuando [pic]es una función de Baire acotada, también lo son las funciones[pic]y→[pic]y se tiene la formula [pic]=[pic]
Integral tomada por un Angulo. Un poco mas tarde, Fubini aporta un complemento importante a este resultado demostrando que, si se pone solamente que [pic] es integrable, entonces el conjunto de las x tales que [pic]y→[pic]no es integrable, es de medida nula, lo que permitía extender inmediatamente [pic]=[pic] este casoFinalmente, en 1910 Lebesgue aborda la extensión a las integrales múltiples de sus resultados acerca de las derivadas de las integrales simples. De este modo, asocia una función [pic]integrable en toda parte compacta de [pic]ⁿ la función conjunta[pic], definida para toda parte integrable E [pic]ⁿ , que generaliza el concepto de “integral indefinida”, y señala con este motivo que esta funciónposee las dos propiedades siguientes 1° es completamente aditiva ; 2° es “absolutamente continua” en le sentido de que F(E) tiende a 0 con la medida de E. la parte fundamental de la memoria de Lebesgue consiste en demostrar la proposición reciproca de esta . Pero no se detiene aquí siguiendo en la misma dirección hace notar la posibilidad de generalizar la noción de función de variación acotada...